1412线段垂直平分线

2.垂直平分线垂直平分线 垂直垂直且且平分平分一条线段的一条线段的直线直线叫做这条线段叫做这条线段 的垂直平分线。的垂直平分线。知识回顾 轴对称图形轴对称图形或或关于某条直线对称的两个图关于某条直线对称的两个图形形,它们的对称轴是任何一对对应点所连线段它们的对称轴是任何一对对应点所连线段的的垂直平分线垂直平分线.它们的对应线段相等、对应角它们的对应线段相等、对应角相等。相等。1.轴对称性质轴对称性质探究探究1.1.作出线段作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l lAB(1)用刻度尺画出AB线段的中点OO(2)用三角板过O点作AB线段的垂线 ll2.在AB的垂直平分线l上任取 ,分别量一量点 ，到A与B的距离，你有什么发现？1p1p2p3p2p3p1p2p3p把线段AB沿直线l对折看看 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点 的距离相等。ABPMNCPA=PB 直线直线MNAB,垂足为垂足为C,且且AC=CB.已知：如图已知：如图,点点P在在MN上上.求证：求证：证明：证明：MNAB PCA=PCB=90 在在 PAC和和 PBC中，中，AC=BC PCA=PCB PC=PC(公共边）公共边）PAC PBC(SAS)PA=PB(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)猜想：猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。题设题设结论结论线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段两个端点的距离相等。与这条线段两个端点的距离相等。ABPMNC用几何语言表示用几何语言表示:直线直线MNABMNAB于于C,C,且且AC=CB.AC=CB.点点P P在在MNMN上上 PA=PBPA=PB (线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点点与这条线段两个端点的距离相等与这条线段两个端点的距离相等)P 123 练习1思考:反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?探究探究如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？通过探究你能得出什么结论？与一条线段两个端点距离相等的点，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线在这条线 段的垂直平分线上。段的垂直平分线上。PBAPA=PB线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。点，在这条线段的垂直平分线上。ABPMNO已知：如图，点已知：如图，点P为线段为线段AB外一点，且外一点，且 PA=PB求证：点求证：点P在在AB 的垂直平分线上的垂直平分线上证明：过P作MN AB于O POA=POB=90 在RtPAO和RtPBO中PA=PB(已知)PO=PO(公共边)PAO PBO(HL)AO=BO(全等三角形的对应边相等)MN是AB的垂直平分线点P在AB 的垂直平分线上线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直在这条线段的垂直平分线上。平分线上。线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定:用几何语言表示用几何语言表示:DCBA DA=DB,CA=CB DA=DB,CA=CB 直线直线CDCD是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线(与一条线段两个端点距离相等的点与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上)P 123 练习1今天的作业：今天的作业：.活页：P12页第5题（抄题画图，写出推导过程）.课外：P125页 1-4 P126页 6-8 3.预习：p123-p124 （带圆规、直尺）ABCABCP如果两个图形关于某条直线对称，那么如果两个图形关于某条直线对称，那么对称对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.一个轴对称图形的一个轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线所连线段的垂直平分线.AAm与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点点,在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定:思考:我们有时感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?不折叠图形,你能比较准确地作出轴对称图形的对称轴吗?如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？1 1分别以点分别以点A A、B B为圆心，以为圆心，以大于大于12 AB的长为半径作弧，两弧相的长为半径作弧，两弧相 交于交于C C和和D D两点；两点；2 2作直线作直线CDCD 直线直线CDCD就是线段就是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线作法：对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴一个五角星有几条对称轴？作出这些对称轴 如图,与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴.P例例1如下图，已知直线如下图，已知直线m和两点和两点A、B，在直线，在直线m上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB AB mPA=PB，则，则P点在线段点在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，nP所以点所以点P即为所求作的点即为所求作的点P点又在直线点又在直线m上，故上，故P点为线段点为线段AB的垂直平分线与直线的垂直平分线与直线m的交点的交点如图如图,小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向水厂向A村与村与B村供水，若要使厂部到村供水，若要使厂部到A、B的的距离相等，则应选在哪儿？距离相等，则应选在哪儿？解：解：（1）如图（）如图（1），取线段），取线段AB的的中点中点G，过中点，过中点G画画AB的垂线，交的垂线，交EF于于P，则，则P到到A、B的距离相等的距离相等方法总结：方法总结：“垂线段最短垂线段最短”,“两点之间线段两点之间线段最短最短”是线段最值问题中两个重要方法是线段最值问题中两个重要方法 P126页第9题作业：数学，如果正确的看，不但拥有真理，而且也具有高尚的美！-罗素名人名言性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。逆命题：逆命题：与一条线段两个端点距离相等与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线的点，在这条线 段的垂直平分线上。段的垂直平分线上。C性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的点的距离相等。距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上?逆命题：逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段段的垂直平分线上。的垂直平分线上。ABP二、逆定理：二、逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等 你能根据上述定理和逆定理，说出你能根据上述定理和逆定理，说出线段的垂直平分线的集合定义吗？线段的垂直平分线的集合定义吗？三、三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合段两上端点距离相等的所有点的集合ABPMNCPA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的距离相等距离相等 利用判定两个三角形全等的方法，怎样证明这个性质定理呢?