高等数学下：8.3.3 函数展开为幂级数举例

8.3.3 函数展开为幂级数举例函数展开为幂级数举例间接展开法间接展开法:(1)用已知展开式用已知展开式(2)逐项求导和逐项积分逐项求导和逐项积分，)(!1!2112 xxnxxenx 1253!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx)(x，nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2 )11(x特别特别:)11(,11112 xxxxxn常用展开式常用展开式的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf)1ln()(解解，xxf 11)(x 11而而 nnxxxx)1(132)11(x，得，得到到从从将上式逐项积分将上式逐项积分)0(x 1)1(432)1ln(1432nxxxxxxnn)11(x收敛，收敛，由于上式右端在由于上式右端在1 x处处有有定定义义且且连连续续，在在且且1)1ln(xx也也成成立立所所以以上上述述展展开开式式对对1 x时时，1 x 11)1(41312112lnnn 111)1(nnn例例1.的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf211)(解解)11(1112 xxxxxn由于由于，得，得换成换成将将2xx)11()1(1112422 xxxxxnn.注注积分，可得积分，可得到到上式两边从上式两边从x0 12)1(53arctan1253nxxxxxnn)11(x时时，当当1 x 0121)1(4nnn 例例2.2cossin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxxf 解解:xxxf2cossin)(sin3sin21xx 】【)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn)!12()1(21)!12()3()1(21120120 nxnxnnnnnn xxnnnnn,)!12()13()1(2112120例例3.的的马马克克劳劳林林展展开开式式求求xarcsin211)(arcsinxx 21)1(2 x，nxnnx22!)!2(!)12(211；)11(x 123)12(!)!2(!)!12(321arcsinnxnnnxxx)11(x例例4.解解:问题问题:若基点不为零，如何展开若基点不为零，如何展开?思考：如何证明端点的收敛性？思考：如何证明端点的收敛性？的泰勒级数的泰勒级数在基点在基点将函数将函数例例4sin)(10 xxxf)4sin(sintx由于)sin(cos22tt 42!41!211costtt)(t53!51!31sintttt5432!51!41!31!211 22sintttttx)(x)4(!515x解法一解法一:变换变换,令令4 xt432)4(!41)4(!31)4(!21)4(1 22xxxx回代的泰勒级数的泰勒级数在基点在基点将函数将函数例例4sin)(10 xxxf )4(4sinsin xx由于由于 )4sin()4cos(22 xx)4cos(x且且 42)4(!41)4(!211 xx)(x)4sin(x 53)4(!51)4(!31)4(xxx)(x 432)4(!41)4(!31)4(!21)4(1 22sin xxxxx)(x)4(!515 x解法二解法二:变形变形的幂级数的幂级数展开成展开成将函数将函数例例)1(341)(22 xxxxf解解)3)(1(1)(xxxf由于由于)3(21)1(21 xx 1 2111414121xx2111 x而而 nnxxxx21)1(212121132 02)1()1(nnnnx，1211(x，即即)31 x)1(2141 x nnxxxx41)1(41414112132 022)1()1(21nnnnx，1411(x，即即)53 x)(xf 012)1)(2121()1(41nnnnnx)31(x，)(!1!2112 xxnxxenx 1253!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx)(x，nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1(2 )11(x，nnxnxxx242!)2(1)1(!41!211cos)(x 1)1(432)1ln(1432nxxxxxxnn)11(x)11()1(1112422 xxxxxnn 12)1(53arctan1253nxxxxxnn)11(x 123)12(!)!2(!)!12(321arcsinnxnnnxxx)11(x