“三线合一”的妙用

“三线合一”的妙用安徽省无为县刘渡中心学校（238341）丁浩勇等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段 相等或直线垂直等问题一、证明角相等【例1】已知：如图1,在AABC中，AB = AC , BD丄AD于D .求证:ABAC = 2ADBC .【分析】作出等腰AABC的顶角平分线将顶角分为相等的 两部分，根据“三线合一”的性质证得ZDBC等于其中任一部 分即可【 证 明 】 作 ABAC 的 平 分 线 AE ， 则 有Z1 = Z2 二 + ABAC . AB 二 AC , Z1 = Z2 , AE 丄 BC2（三线合一）. A2 + AC = 90。.又 BD 丄 AD ,.ADBC + AC = 90。.A2 二 ADBC . ABAC = 2ADBC .【点拨】添加辅助线,利用等腰三角形的“三线合一”性质,巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形,将已知条件与待证结论有机地联系在一起,从而容易获得问题的解决二、证明线段相等E,使CE二CD，过点D作DM丄BE，垂直为M.【分析】在ABDE中，DM丄BE .如果能证得DB二DE，由“三线合一”就可得出BM二EM .【例2】（2009汕头）如图2, AABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到【证明】J AABC是等边三角形，D是的AC中点,合一）. ADBC = 30。. AABC 二 AACB 二 60。, bd 平分 AABC （三线又 CE 二 CD ,. AE = ACDE . ADBC = AE = 30。又 AACB = AE + ACDEAE 二丄 AACB 二 30。.2DB 二 DE .又DM 丄 BE BM 二 EM （三线合一）.点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时，要纠 正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决三、证明直线垂直【例3】（2009义乌）如图3,在正 ABC中，AD丄BC于点D,以AD为一边向右作正 ADE.请判断AC、DE的位置关系，并给出证明.在正 ADE 中，T ZFAE 二 ZDAE ACAD 二 60 30 二 30 ,：AF 是 ZDAE 的 平分线. AC丄DE （三线合一）.【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线 相互垂直：( 1)有一个等腰三角形；(2)两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线