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课后限时集训19利用导数解决函数的零点问题建议用时：45分钟1(2019全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数解(1)证明：f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，f(2)ln 20，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点(2)证明：由(1)知f(x0)0，所以，f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数2已知函数f(x)x3x2axb.(1)当a1时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点，求实数b的值解(1)当a1时，f(x)x3x2xb，则f(x)3x22x1，由f(x)0，得x1或x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，1)和.(2)函数f(x)的图像与直线yax恰有两个不同的交点，等价于f(x)ax0有两个不等的实根令g(x)f(x)axx3x2b，则g(x)3x22x.由g(x)0，得x或x0；由g(x)0，得x0.所以函数g(x)在和(0，)上单调递增，在上单调递减所以当x时，函数g(x)取得极大值gb；当x0时，函数g(x)取得极小值为g(0)b.要满足题意，则需gb0或g(0)b0，所以b或b0.3(2019武汉调研)已知函数f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然对数的底数)(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论g(x)f(x)在区间0,1上零点的个数解(1)f(x)exax1，f(x)exa，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间；当a0时，令f(x)0，得xln a，令f(x)0，得xln a，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增且f(0)0，f(x)在0,1上有一个零点当ae时，f(x)在(，1)上单调递减，f(x)在0,1上有一个零点当1ae时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0,1上有两个零点；当ea10，即e1ae时，f(x)在0,1上有一个零点再考虑x时，由f0，得a2(1)综上所述，当a1或ae1或a2(1)时，g(x)在0,1上有两个零点；当1ae1且a2(1)时，g(x)在0,1上有三个零点.- 3 -
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