2020版高考数学新设计大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第6节 对数与对数函数习题 理（含解析）新人教A版

第6节对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.知 识 梳 理1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.微点提醒1.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数ylog2(x1)是对数函数.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则abc B.acbC.cba D.cab解析0a1，b1.cab.答案D3.(必修1P74A7改编)函数y的定义域是_.解析由log(2x1)0，得02x11.0，且a1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a1，c1B.a1，0c1C.0a1D.0a1，0c1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则x的值等于()A.1 B.0或 C. D.log23(2)(2019成都七中检测)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析(1)由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.(2)设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.答案(1)D(2)42考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019潍坊一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()(2)当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D.解析(1)由f(x)在R上是减函数，知0a1时，yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.(2)由题意，易知a1.在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.答案(1)D(2)C规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A.0a1b1B.0ba11C.0b1a1D.0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，即logaa1logabloga1，所以，a1b1.综上有0a1bbc B.bacC.cba D.cab(2)若loga(a21)loga2a1，bln 2(0，1)，cloglog23log2ea1，所以cab.法二loglog23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知cab.(2)由题意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，a.综上，a.答案(1)D(2)C角度3对数型函数性质的综合应用【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a的取值范围是(0，1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数.f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.规律方法1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2016全国卷)若ab0，0c1，则()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb(2)若函数f(x)loga(a0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_.解析(1)由yxc与ycx的单调性知，C，D不正确；ylogcx是减函数，得logca0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x1且b1或0a1且0b0；当a1且0b1或0a1时，logab0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定.易错防范1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论.2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A.24 B.16 C.12 D.8解析因为32log23bc B.bac C.cba D.cab解析log log3151log35，因为函数ylog3x在(0，)上为增函数，所以log35log3 log331，因为函数y在(，)上为减函数，所以ab.答案D3.(2018张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的图象大致为()解析由题意，知函数f(x)2ax(a0，且a1)为单调递减函数，当0a2，且函数g(x)loga(x2)在(2，)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a1时，函数f(x)2ax的零点x0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函数，排除B，综上只有A满足.答案A4.(2019肇庆二模)已知f(x)lg(10x)lg(10x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析由得x(10，10)，且f(x)lg(100x2).f(x)是偶函数，又t100x2在(0，10)上单调递减，ylg t在(0，)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.答案D5.已知函数f(x)|ln x|，若f(m)f(n)(mn0)，则()A. B.1 C.2 D.4解析由f(m)f(n)，mn0，可知m1n0，ln mln n，则mn1.所以2.答案C二、填空题6.lg2lg 2_.解析lg2lg 2lglg 222lg2121.答案17.(2019昆明诊断)设f(x)lg是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1，1).由f(x)0，可得01，1x0.答案(1，0)8.(2019武汉调研)已知函数f(x)若f(2a)1，则f(a)_.解析当2a0时，f(2a)log2(1a)1.解得a，不合题意.当2a2，即a0时，f(2a)2a11，即2a2，解得a1，所以f(a)f(1)log242.答案2三、解答题9.设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值.解(1)f(1)2，loga42(a0，a1)，a2.由得1x3，函数f(x)的定义域为(1，3).(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，当x0，1时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数，故函数f(x)在上的最大值是f(1)log242.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解(1)当x0，则f(x)log(x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4)log42，f(x)是偶函数，所以不等式f(x21)2转化为f(|x21|)f(4).又因为函数f(x)在(0，)上是减函数，所以|x21|4，解得x0且a1，函数f(x)loga(x)在区间(，)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)loga|x|b|的图象是()解析函数f(x)loga(x)在区间(，)上是奇函数，f(0)0，b1，又函数f(x)loga(x)在区间(，)上是增函数，所以a1.所以g(x)loga|x|1|，当x1时，g(x)loga(x1)为增函数，排除B，D；当0x1时，g(x)loga(1x)为减函数，排除C；故选A.答案A12.(2017全国卷)设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A.2x3y5z B.5z2x3yC.3y5z2x D.3y2x1.则xlog2t，同理，y，z.2x3y0，2x3y.又2x5z0，2x5z，3y2xln恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由0，解得x1，函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，f(x)lnlnlnlnf(x).f(x)ln是奇函数.(2)由于x2，6时，f(x)lnln恒成立，0恒成立，x2，6，0m(x1)(7x)在x2，6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2，6，由二次函数的性质可知，x2，3时函数g(x)单调递增，x3，6时函数g(x)单调递减，即x2，6时，g(x)ming(6)7，0m7.故实数m的取值范围为(0，7).15