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专题限时集训(十四)导数的综合应用(建议用时：40分钟)1已知函数f(x).(1)求函数f(x)在1，)上的值域；(2)若x1，)，ln x(ln x4)2ax4恒成立，求实数a的取值范围解(1)易知f(x)0(x1)，f(x)在1，)上单调递减，f(x)maxf(1)2.x1时，f(x)0，f(x)在1，)上的值域为(0,2(2)令g(x)ln x(ln x4)2ax4，x1，)，则g(x)2，若a0，则由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，g(e)12ae0，与题设矛盾，a0不符合要求若a2，则由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上单调递减g(x)g(1)2a40，a2符合要求若0a2，则x0(1，)，使得a，则g(x)在1，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，g(x)maxg(x0)ln x0(ln x04)2ax04.ln x0ax02，g(x)max(ax02)(ax02)2ax04(ax02)(ax04)由题意知g(x)max0，即(ax02)(ax04)0，2ax04，即2ln x0241x0e2.a，且由(1)可知f(x)在(1，)上单调递减，a2.综上，a的取值范围为.2已知函数f(x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f(x)exx2x2.解(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x(a2)，当a0时，f(x)0对任意x(0，)恒成立，所以，函数f(x)在区间(0，)单调递增；当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0，得0x，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)证明：当a1时，f(x)x2xln x，要证明f(x)exx2x2，只需证明exln x20，设g(x)exln x2，则问题转化为证明对任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e，当x变化时，g(x)和g(x)变化情况如下表x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)递减递增g(x)ming(x0)eln x02x02，因为x00，且x01，所以g(x)min220，因此不等式得证3已知函数f(x)ex(1aln x)，其中a0，设f(x)为f(x)的导函数(1)设g(x)exf(x)，若g(x)2恒成立，求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f(x)的极小值点为x1，当a2时，求证：x0x1.解(1)由题设知，f(x)ex(x0)，g(x)exf(x)1aln x，g(x)(x0)当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增，故g(x)在x1处取得最小值，且g(1)1a.由于g(x)2恒成立，所以1a2，得a1，即a的取值范围为1，)(2)证明：设h(x)f(x)ex，则h(x)ex.设H(x)1aln x(x0)，则H(x)0，故H(x)在(0，)上单调递增，因为a2，所以H(1)a10，H1aln 20，故存在x2，使得H(x2)0，则h(x)在区间(0，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增，故x2是h(x)的极小值点，因此x2x1.由(1)可知，当a1时，ln x1.因此h(x)h(x1)e e(1a)0，即f(x)在(0，)上单调递增由于H(x1)0，即1aln x10，即1aln x1，所以f(x1)e(1aln x1)ae0f(x0)又f(x)在(0，)上单调递增，所以x1x0.4已知函数f(x)xln xx2(a1)x，其导函数f(x)的最大值为0.(1)求实数a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，证明：x1x22.解(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，其导函数f(x)ln xa(x1)，记h(x)f(x)，则h(x). 当a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，且h(1)0，所以任意x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成立当a0时，若x，则h(x)0；若x，则h(x)0.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减所以h(x)maxhln aa1.令g(a)ln aa1，则g(a)1.当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)证明：当a1时，f(x)xln xx2，则f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln xx0恒成立，所以f(x)xln xx2在(0，)上单调递减，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1) 不妨设0x1x2，则0x11x2，欲证x1x22，只需证x22x1.因为f(x)在(0，)上单调递减，所以只需证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)1，所以只需证1f(x1)f(2x1)，即f(2x1)f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，则F(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1，只需证F(x)F(1)，x(0,1)，F(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln(2x)2x，整理得F(x)ln xln(2x)2(1x)，x(0,1)，令m(x)F(x)，则m(x)0，x(0,1)，所以F(x)ln xln(2x)2(1x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意x(0,1)，f(x)ln xln(2x)2(1x)0，所以函数F(x)f(x)f(2x)在区间(0,1)上单调递减，所以F(x)F(1)，x(0,1)，故x1x22.题号内容押题依据1函数的单调性、构造法证明不等式、分类讨论思想高考的热点问题，将等价转化思想、分类讨论思想放在一起考查学生分析问题的能力，同时双变量问题的合理转化是近几年的热点，应引起重视【押题】已知函数f(x)x2ax(a1)ln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1，求实数a的取值范围解(1)f(x)xa(x1)x(a1)，若a2，由f(x)0，得0x1或xa1，由f(x)0，得1xa1，则f(x)在(0,1)，(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减；若a2，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若1a2，由f(x)0，得0xa1或x1，由f(x)0，得a1x1，则f(x)在(0，a1)，(1，)上单调递增，在(a1,1)上单调递减；若a1，由f(x)0，得x1，由f(x)0，得0x1，则f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减综上，若a2，则f(x)在(0,1)，(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减；若a2，则f(x)在(0，)上单调递增；若1a2，则f(x)在(0，a1)，(1，)上单调递增，在(a1,1)上单调递减；若a1，则f(x)在(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减(2)f(x1)f(x2)x2x1f(x1)x1f(x2)x2，令F(x)f(x)xx2ax(a1)ln xx，对任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1等价于函数f(x)在(0，)上是增函数f(x)xa1x2(a1)xa1，令g(x)x2(a1)xa1，当a10，即a1时，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g(0)0，即a10，a1，无解当a10，即a1时，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g0，即(a1)a10，化简得(a1)(a5)0，解得1a5.综上，实数a的取值范围是1,5- 6 -
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