2022年期权价格的敏感性和期权的套期保值

第十二章期权价格的敏感性和期权的套期保值【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。本章的重要内容之一，就是介绍了期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率） 的敏感性指标， 并以此为基础讨论了相关的动态套期保值问题。学习完本章， 读者应能掌握与期权价格敏感性有关的五个希腊字母及其相应的套期保值技术。在前面几章中，我们已经分析了决定和影响期权价格的各个重要因素，以及这些因素对期权价格的影响方向。进一步来看，根据Black-Scholes 期权定价公式（)()(2)(1dNXedSNctTr） ，我们还可以更深入地了解各种因素对期权价格的影响程度，或者称之为期权价格对这些因素的敏感性。具体地说，所谓期权价格的敏感性，是指当这些因素发生一定的变化时， 会引起期权价格怎样的变化。 本章的重要内容之一，就是对期权价格的敏感性作具体的、量化的分析，介绍期权价格对其四个参数（标的资产市场价格、到期时间、波动率和无风险利率）的敏感性指标。如果我们从另一个角度来考虑期权价格的敏感性，我们可以把它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页看作当某一个参数发生变动时，期权价格可能产生的变化， 也就是可能产生的风险。显然，如果期权价格对某一参数的敏感性为零，可以想见，该参数变化时给期权带来的价格风险就为零。实际上，当我们运用衍生证券（如期权）为标的资产或其它衍生证券进行套期保值时，一种较常用的方法就是分别算出保值工具与保值对象两者的价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等）的敏感性， 然后建立适当数量的证券头寸，组成套期保值组合，使组合中的保值工具与保值对象的价格变动能相互抵消，也就是说让套期保值组合对该参数变化的敏感性变为零，这样就能起到消除相应风险的套期保值的目的。这就是我们在本章将要介绍的“动态套期保值”技术。第一节Delta 与期权的套期保值期权的 Delta 用于衡量期权价格对标的资产市场价格变动的敏感度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。用数学语言表示，期权的 Delta 值等于期权价格对标的资产价格的偏导数；显然，从几何上看，它是期权价格与标的资产价格关系曲线切线的斜率。一、期权 Delta 值的计算令 f 表示期权的价格，S表示标的资产的价格，表示期权的 Delta，则：Sf（12.1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页根据 Black-Scholes期权定价公式（)()(2)(1dNXedSNctTr）和相应的无收益资产欧式看跌期权定价公式（()21()()r TtpXeNdSNd） ，我们可以算出无收益资产看涨期权的Delta 值为：)(1dN无收益资产欧式看跌期权的Delta 值为：1)()(11dNdN其中 d1的定义与式（ 11.2）相同。当期权更为复杂的时候，相应地期权的Delta 值也更为复杂。例如支付已知红利率q（连续复利）的欧式看涨期权的Delta 值为)(1)(dNetTq第十三章将给出股票指数期权、 外汇期权和期货期权的相应Delta值。二、期权 Delta 值的性质和特征分析根据累积标准正态分布函数的性质可知，1)(01dN，因此无收益资产看涨期权的总是大于 0 但小于 1；而无收益资产欧式看跌期权的则总是大于 -1 小于 0。反过来，作为无收益资产欧式看涨期权空头，其 Delta 值就是总是大于 -1 小于 0；而无收益资产欧式看跌期权空头的则总是大于 0 小于 1。从 d1定义可知，期权的值取决于 S、r、和 T-t，根据期权价格曲线的形状（如图 10.3和图 10.4所示） ，我们可知无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值与标的资产价格的关系如图12.1 （a）和（b）所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页图 12.1 无收益资产看涨期权和看跌期权Delta 值与标的资产价格的关系从 N（d1）函数的特征还可得出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权在实值、平价和虚值三种状况下的值与到期期限之间的关系如图 12.2（a）和（ b）所示。图 12.2 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta 值与到期期限之间的关系此外，无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值也越高，如图 12.3（a）和（ b）所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页图 12.3 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Delta值与 r之间的关系然而，标的资产价格波动率 （）对期权值的影响较难确定，它取决于无风险利率水平S 与 X 的差距、期权有效期等因素。但可以肯定的是，对于较深度虚值的看涨期权和较深度实值的看跌期权来说，是的递增函数，其图形与图12.3（a）和（ b）相似。三、证券组合的Delta值事实上，不仅期权有Delta 值，金融现货资产和远期、期货都有相应的 Delta 值。显然，对于期权的标的现货资产来说，其Delta 值就等于 1。运用第三章中关于远期合约价值的计算公式（3.1）可知，股票的远期合约的同样恒等于 1。这意味着我们可用一股股票的远期合约空头（或多头）为一股股票多头（或空头）保值，且在合约有效期内，无需再调整合约数量。 但是，期货合约的 Delta值就不同了。由于期货是每天结算的， 因此期货合约的收益变化源于期货价格的变化，也就是说，我们需要运用期货价格公式计算出Delta 值。因此，无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的值为：)(tTre精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页支付已知收益率（ q）资产期货合约的值为：)(tTqre值得注意的是，这里给出的Delta 值都是针对多头而言的，和期权一样，相应空头的Delta 值只是符号发生了相反的变化。这样，当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时， 该证券组合的值就等于组合中各种资产值的总和（注意这里的标的资产都应该是相同的）：niiiw1（12.2）其中， wi表示第 i 种证券的数量，i表示第 i 种证券的值。四、Delta中性状态与套期保值由于标的资产和相应的衍生证券可取多头或空头，因此其值可正可负，这样，若组合内标的资产和期权及其他衍生证券数量配合适当的话，整个组合的值就可能等于0。我们称值为 0 的证券组合处于 Delta 中性状态。当证券组合处于中性状态时，组合的价值显然就不受标的资产价格波动的影响，从而实现了套期保值。但是值得强调的是，证券组合处于中性状态只能维持一个很短的时间，因为Delta 实质上是导数。因此，我们只能说，当证券组合处于中性状态时，该组合价值在一个“短时间”内不受标的资产价格波动的影响，从而实现了“瞬时”套期保值。这样一个中性状态的套期保值组合提示我们，当我们手中拥有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页某种证券或证券组合时，可以通过相应的标的资产、期权、期货等进行相互保值，使证券组合的值等于 0，也就是不受标的资产价格变化的影响。这种套期保值方法称为中性保值法，又因为中性保值只是在瞬间实现的，随着S、T-t、r 和的变化，值也在不断变化，因此需要不断调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态， 这种调整称为再均衡（ Rebalancing） ，因此这种保值方法属于“动态套期保值” 。下面我们分别通过两个例子来说明运用期权为标的资产保值和运用标的资产或其他资产为期权保值的中性保值法。例 12.1 美国某公司持有100 万英镑的现货头寸，假设当时英镑兑美元汇率为 1 英镑=1.6200美元，英国的无风险连续复利年利率为13%，美国为 10%，英镑汇率的波动率每年15%。为防止英镑贬值，该公司打算用 6 个月期协议价格为1.6000 美元的英镑欧式看跌期权进行保值，请问该公司应买入多少该期权？英镑欧式看跌期权的值为：458. 0 1)0287.0( 1)(5.013. 01)(eNedNtTfr而英镑现货的值为+1， 故 100万英镑现货头寸的值为+100万。为了抵消现货头寸的值，该公司应买入的看跌期权数量等于：34.218458.0100万即，该公司要买入218.34万英镑的欧式看跌期权。当然，这只是适合于短时间内的保值头寸。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页例 12.21某金融机构在 OTC 市场出售了基于 100 000股不付红利股票的欧式看涨期权，收入 $300 000。该股票的市场价格为 $49，执行价格为$50，无风险利率为年利率5%，股票价格波动率为年20%，距离到期时间为 20 周。由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨期权多头对冲，这样就面临着风险管理的问题。在这里我们可以运用中性保值法。我们可以用标的资产即股票为此期权进行套期保值操作。 由于该金融机构目前的头寸是欧式看涨期权空头，这意味着他们目前的值是负的，这样，我们需要用正的值进行对冲，即应该购买标的资产，才能构建中性组合。之后，我们还需要不断地调整标的资产的数量，以适应期权值的变化。在实际中，过于频繁的动态调整需要相当的交易费用，因此我们假设保值调整每周进行一次。根据题目，49,50,0.05,0.20,0.3846.SXrTt初始的 Delta 值为0.522。这意味着在出售该看涨期权的同时，需要借入0.522 100 00049$2 557 800以 49 美元的价格购买 52 200 股股票。第一周内发生的相应利息费用为$2 500。表 12-1 给出了期权到期时为实值和虚值两种状况下的模拟保值过程。从表 12-1（a）可知，到第一周末，股票价格下降到1488。这使得Delta 值下降到 0.458,要保持 Delta 中性，必须出售 6 400 股股票，得1该例子主要引自美约翰 赫尔著，张陶伟译 . 期权、期货和衍生证券 . 中译本 . 北京：华夏出版社， 1997. 283页，在此基础上进行了一点修改。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页到$308 000的现金，从而使得成本下降。之后，如果Delta 值上升，就需要再借钱买入股票；如果Delta 值下降，就卖出股票减少借款。在期权接近到期时，很明显为实值期权，期权将被执行，Delta 值接近 1。因此，到 20 周时，该金融机构具有完全的抵补标的资产头寸，累积成本为 $5 261 500。当期权被执行时，金融机构将其所持有的股票出售，获得 $5 000 000 ，因此总的套期保值成本为$261 500。表 12-1 （b）给出了另一种价格序列， 即到期时期权处于虚值状态的情形。显然到期时期权不会被执行，Delta 值接近 0，而该金融机构最后不会持有标的资产，总计成本为$257 800。如果把表 12-1（a）和表 12-1（b）中的最后套期保值成本贴现到期初，则我们会发现应用标的资产对该期权进行中性保值的成本近似于运用 Black-Scholes期权定价公式计算出来的$240 000， 但不完全相等，不完全相等的原因在于调整频率较低。如果我们采用的是瞬时连续调整，就会发现它们是完全相等的。表 12-1（a）Delta 对冲的模拟：实值期权的情形，保值成本$261 500周次股票价格Delta 购买股票数购 买 股 票成本累计成本 （包括上 周 利息费用，以$1 000 为单位）利 息 费用（ 以 $1 000为单位）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页0 49 0.522 52 200 2 557.8 2 557.8 2.5 1 14880.458 -6 400 -308.0 2 252.3 2.2 2 34780.400 -5 800 -274.8 1 979.7 1.9 3 15040.596 19 600 984.9 2 966.5 2.9 4 35140.693 9 700 502.0 3 471.4 3.3 5 15380.744 8 100 430.3 3 905.0 3.8 6 53 0.711 -300 -17.9 3 890.9 3.7 7 75180.706 -6 500 -337.2 3 557.4 3.4 8 35180.674 -3 200 -164.4 3 396.4 3.3 9 53 0.787 11 300 598.9 3 998.6 3.8 10 74980.550 -23 700 -1 182.0 2 820.4 2.7 11 14820.413 -13 700 -664.4 2 158.7 2.1 12 74980.542 12 900 643.4 2 804.2 2.7 13 35080.591 4 900 24.8 3 053.7 2.9 14 15280.768 17 700 922.6 3 979.2 3.8 15 75180.759 -900 -46.7 3 936.3 3.8 16 75280.865 10 600 560.5 4 500.6 4.3 17 75480.978 11 300 620.1 5 125.0 4.9 18 55480.990 1 200 65.6 5 195.5 5.0 19 75581.000 1 000 55.9 5 256.4 5.1 20 15741.000 0 0.0 5 261.5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页总计100 000 在现实生活中，金融机构很少直接出售基于单种股票的看涨期权，象我们例子中所举的那样。 但是，我们通过这个例子向读者展示了一个重要的套期保值原理： 我们可以通过运用标的资产， 实现对期权的Delta 中性套期保值， 在不考虑交易费用 （指买入卖出的佣金等费用，利息费用则是需要考虑的） 并假设波动率为常数的情况下，运用标的资产进行 Delta 中性套期保值的成本和效果就和买入了一个看涨期权多头一样。也就是说，套期保值的结果是：我们通过标的资产构成了一个“合成的期权头寸” 。在这个套期保值的过程中，当Delta 上升的时候，也就是标的资产价格上涨的时候，我们必须增加借款买入股票；当 Delta 下降的时候，也就是标的资产价格下跌的时候，我们必须卖出股票偿还借款。套期保值的成本正是来源于这个“买高卖低”的过程，其总成本正好等于市场上相应的期权价格。在实际操作中， Delta 中性保值方法更常见的是利用同种标的资产的期货头寸而非现货头寸来进行保值，可以获得杠杆作用。 利用期货合约并不一定需要和期权合约的到期日相同，往往需要选择到期时间更长的期货合约对期权合约进行套期保值。以无收益资产期货合约为例，由于)(tTre，这意味着()r T te个期货单位对标的资产价格变动的敏感性与一个标的资产对其自身价格变化的敏感性是相同的，因此()/r T tFAHeHN其中FH和AH分别代表在 t 时刻实现 Delta 中性所需要的期货合约精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页数和标的资产头寸数， N 表示一份期货合约的名义金额。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页表 12-1（b）Delta 对冲的模拟：虚值期权的情形，保值成本$261 500周次股票价格Delta 购买股票数购 买 股 票成本累计成本 （包括上 周 利息费用，以$1 000 为单位）利 息 费用（ 以 $1 000为单位）0 49 0.522 52 200 2 557.8 2 557.8 2.5 1 34940.568 4 600 228.9 2 789.2 2.7 2 520.705 13 700 713.4 3 505.3 3.4 3 500.579 -12 600 -630.0 2 878.7 2.8 4 34880.459 -12 000 -580.5 2 301.0 2.2 5 14840.443 -1 600 -77.2 2 226.0 2.1 6 34840.475 3 200 156.0 2 384.1 2.3 7 54980.540 6 500 322.6 2 709.0 2.6 8 14840.420 -12 000 -579.0 2 132.6 2.0 9 14840.410 -1 000 -48.2 2 086.4 2.0 10 15180.658 24 800 1 267.9 3 356.3 3.2 11 15120.692 3 400 175.1 3 534.6 3.4 12 74980.542 -15 000 -748.1 2 789.9 2.7 13 74980.538 -400 -20.0 2 772.6 2.7 14 34840.400 -13 800 -672.7 2 102.6 2.0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页15 14720.236 -16 400 -779.0 1 325.6 1.3 16 480.261 2 500 120.0 1 446.9 1.4 17 14640.062 -19 900 -920.4 527.9 0.5 18 14880.183 12 100 582.3 1 110.7 1.1 19 54680.007 -17 600 -820.6 291.2 0.3 20 14880.000 -700 -33.7 257.8 总计0 第二节 Theta 与套期保值期权的 Theta （）用于衡量期权价格对时间变化的敏感度，是期权价格变化与时间变化的比率，期权价格对时间t 的偏导数。一、期权 Theta值的计算tf（12.3）根据 Black-Scholes期权定价公式， 对于无收益资产的欧式和美式看涨期权而言 , )(2)( 2)(1dNrXetTdSNtTr根据累积标准正态分布函数的特性，25. 021)( xexN因此，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页210.5()2()2 2 ()dr T tS erXeN dTt对于无收益资产的欧式看跌期权而言，210.5()21()2 2 ()dr TtS erXeN dTt二、期权 Theta值的性质和特征分析当越来越临近到期日时，期权的时间价值越来越小，因此期权的Theta几乎总是负的1。它代表的是期权的价值随着时间推移而逐渐衰减的程度。期权的 Theta值同时受 S、T-t、r 和的影响。首先，无收益资产看涨期权的的值与标的资产价格的关系曲线如图 12.4 所示。当 S 很小时，近似为 0，当 S 在 X 附近时，很小。当 S升高时，趋近于)(tTrrXe。一般来说，当其他情况一定时，平价期权的 Theta绝对值最大；实值和虚值期权Theta 值的变化则比较复杂：对看涨期权来说，深度实值时的期权Theta绝对值常常大于深度虚值时的 Theta绝对值；而对于看跌期权来说，深度实值时的期权 Theta绝对值则通常小于深度虚值时的Theta绝对值其次，在第十章中我们已经知道， 时间价值是期权价值的一部分，而时间价值与期权剩余期限的长短并不呈现线性关系。随着到期期限的临近，时间价值将以越来越快的速度消减。根据这一特征，可以推知在一般情况下，期权剩余期限越长，其Theta的绝对值越小；而期权剩余期限越短，其Theta的绝对值越大。1有一些例外。如对于处于实值状态的无收益资产欧式看跌期权和处于实值状态的附有很高利率的外汇的欧式看涨期权来说，Theta 可能为正。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页进一步来看，无收益资产看涨期权的值与 Tt 之间的关系跟 SX 有很大关系（如图12.5所示） 。图 12.4 无收益资产看涨期权Theta值与 S的关系图 12.5 无收益资产看涨期权和Theta值与有效期之间的关系在其他条件一定时， Theta 值的大小与标的资产价格波动率也有关系。一般来说，波动率越小， Theta的绝对值也越小；波动率越大，Theta的绝对值也越大。三、Theta值与套期保值事实上， Theta值与套期保值并没有直接的关系，但它与Delta 及下文的 Gamma值有较大关系。同时，在期权交易中，尤其是在差期交易中，由于 Theta值的大小反映了期权购买者随时间推移所损失的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页价值，也反映了期权出售者随时间推移而增加的价值，因而无论对于避险者、套利者还是投资者而言，Theta 值都是一个重要的敏感性指标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页第三节 Gamma 与套期保值一、期权 Gamma值的计算期权的 Gamma（）是一个与 Delta 联系密切的敏感性指标，甚至可以认为是Delta 的敏感性指标，它用于衡量该证券的Delta 值对标的资产价格变化的敏感度， 它等于期权价格对标的资产价格的二阶偏导数，也等于期权的Delta 对标的资产价格的一阶偏导数。从几何上看，它反映了期权价格与标的资产价格关系曲线的凸度。值得注意的是，由于看涨期权与看跌期权的之间只相差一个常数，因此两者的值总是相等的。SSf22（12.4）根据 Black-Scholes无收益资产期权定价公式， 我们可以算出无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的值为：)(2215.0tTSed无收益资产期权的值总为正值， 相应地，期权空头的值则总为负值。二、期权 Gamma值的性质和特征分析期权的 Gamma值也会随着 S、Tt、r 和的变化而变化。 图 12.6和 12.7分别表示了它与 S 及 Tt 的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页图 12.6 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma值与 S 的关系从图 12.6 可以看出，当 S 在 X 附近时，值最大，即值对于 S最敏感。从图12.7 可以看出，对于平价期权来说，期权有效期很短时，Gamma值将非常大，即值对 S非常敏感。三、证券组合的 Gamma值对于标的资产及远期和期货合约来说，Gamma值均为 0。这意味着只有期权有 Gamma值。因此，当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种期权和其他衍生产品时，该证券组合的值就等于组合内各种期权值与其数量乘积的总和：niiiw1（12.5）其中，wi表示第 i 种期权的数量，i表示第 i 种期权的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页图 12.7 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma值与 T-t 的关系四、Gamma中性状态由于期权多头的值总是正的，而期权空头的值总是负的， 因此若期权多头和空头数量配合适当的话，该组合的值就等于零。我们称值为零的证券组合处于Gamma中性状态。计算证券组合的值对于套期保值的重要意义体现在它可用于衡量中性保值法的保值误差。这是因为期权的值仅仅衡量标的资产价格 S微小变动时期权价格的变动量， 而期权价格与标的资产价格的关系曲线是一条曲线，因此当S 变动量较大时，用估计出的期权价格的变动量与期权价格的实际变动量就会有所偏差（如图 12.8所示） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页图 12.8 Delta对冲的误差从图 12.8可以看出，当标的资产价格人S0上涨到 S1时，Delta 中性保值法假设期权价格从c0增加到 c1，而实际上是从 c0增加到1c，c1和1c之间的误差就是Delta 中性保值的误差。这种误差的大小取决于期权价格与标的资产价格之间关系曲线的曲度。值越大，该曲度就越大，中性保值误差就越大。为了消除中性保值的误差， 我们应使保值组合的中性化。由于证券组合的值会随时间变化而变化，因此随时间流逝，我们要不断调整期权头寸和标的资产或期货头寸，才能保持保值组合处于中性状态。值得注意的是， 由于保持中性只能通过期权头寸的调整获得，实现中性的结果往往是非中性，因而常常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整，才能使得证券组合同时实现中性和中性。例 12.3 假设某个中性的保值组合的值等于 -5 000，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的和值分别等于 0.80和 2.0。 为使保值组合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页中性，并保持中性，该组合应购买多少份该期权，同时卖出多少份标的资产？该组合应购入的看涨期权数量等于：50002 5002.0份由于购入2 500 份看涨期权后，新组合的值将由0 增加到2 500 0.80=2 000。因此，为保持中性，应出售 2 000 份标的资产。五、Delta、Theta和 Gamma 之间的关系在第十一章，我们曾讨论过无收益资产的看涨期权价格f 必须满足 Black-Scholes微分方程式（ 11.1） ，即：rfSfSSfrStf222221根据我们在本节的定义，22,SfSftf因此有：rfSrS2221（12.5）该公式对无收益资产的单个期权和多个期权组合都适用。对于处于中性状态的组合来说，rfS2221这意味着，对于中性组合来说，若为负值并且很大时，将会为正值并且也很大。对于处于中性和中性状态的组合来说，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页=rf 这意味着， 中性和中性组合的价值将随时间以无风险连续复利率的速度增长。关于 Delta， Theta和 Gamma三者之间的符号关系如表12-2所示。表 12-2Delta、Theta 和 Gamma三者之间的符号关系Delta Theta Gamma 多头看涨期权多头看跌期权空头看涨期权空头看跌期权从表中可以看出， Gamma的符号总是与 Theta的符号相反。第四节Vega、RHO 与套期保值一、Vega与套期保值期权的 Vega（）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，它等于期权价格对标的资产价格波动率（）的偏导数，即：f（12.6）证券组合的值等于该组合中各证券的数量与各证券的值乘积的总和。证券组合的值越大 ,说明其价值对波动率的变化越敏感. 标的资产远期和期货合约的Vega值等于零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页对于无收益资产看涨期权和欧式看跌期权而言，2215 .0detTS应该注意的是，上述值是根据 Black-Scholes期权定价公式（11.2）和（11.3）算出的，而这两个公式都假定为常数。因此上述这些公式都隐含着这样的前提： 波动率为常数情况下的期权价格与波动率是变量情况下的期权价格是相等的。显然，这仅仅是一个近似的假定。从上述公式可以看出，值总是正的，但其大小取决于S、Tt、r 和。其中值与 S 的关系与的关系很相似（如图12.9所示） 。图 12.9 期权的 Vega值与 S的关系由于证券组合的值只取决于期权的值。因此我们可以通过持有某种期权的多头或空头来改变证券组合的值。只要期权的头寸适量，新组合的值就可以等于零，我们称此时证券组合处于中性状态。遗憾的是，当我们调整期权头寸使证券组合处于中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的值，因此，若套期保值者要使证券组合同时达到中性和中性，至少要使用同一标的资产的两种期精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页权。我们令p和p分别代表原证券组合的值和值，1和2分别代表期权 1 和期权 2 的值，1和2分别代表期权 1 和期权 2 的值，w1和 w2分别代表为使新组合处于中性和中性需要的期权1 和 2的数量，则 w1和 w2可用下述联立方程求得：1122112200ppwwww12.712.8例 12.4 假设某个处于 Delta 中性状态的证券组合的值为 6 000值为 9 000，而期权 1 的值为 0.8，值为 2.2，值为 0.9 期权 2 的值为1.0，值为 1.6，值为 0.6，求应持有多少期权头寸才能使该组合处于和中性状态？根据式（ 12.7） 、 （12.8）我们有：12126 0000.81.009 0002.21.60wwww求解这个方程组得： w1 -6 522， w2-653。 因此，我们因加入 6 522份第一种期权的空头和653份第二种期权的空头才能使该组合处于和中性状态。加上这两种期权头寸后，新组合的值为-6 522 0.9-653 0.6=-6 261.6。 因此仍需买入6 262 份标的资产才能使该组合处于中性状态。二、RHO 与套期保值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页期权的 RHO 用于衡量期权价格对利率变化的敏感度，它等于期权价格对利率的偏导数：rfrho（12.9）对于无收益资产看涨期权而言，)()(2)(dNetTXrhotTr对于无收益资产欧式看跌期权而言， 1)()(2)(dNetTXrhotTr另外，期货价格的rho 值为：FtTrho)(标的资产的 rho 值为 0。 因此我们可以通过改变期权或期货头寸来使证券组合处于 rho 中性状态。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页第五节交易费用与套期保值从前述的讨论可以看出，为了保持证券组合处于、中性状态，必须不断调整组合。然而频繁的调整需要大量的交易费用。因此在实际运用中，套期保值者更倾向于使用、和 rho 等参数来评估其证券组合的风险，然后根据他们对S、r、未来运动情况的估计，考虑是否有必要对证券组合进行调整。如果风险是可接受的，或对自己有利，则不调整，若风险对自己不利且是不可接受的，则进行相应调整。例 12.5假定在 5 月份某种资产组合包含10 000 股 A 股票，资产组合的管理者决定将A 股票的市场风险降低一半，即要将头寸的值从 10 000转换成 5 000。有关的市场信息如表12-3。表 12-3A 股票及其期权的信息股票价格33 距 7 月份期权到期的天数66 无风险利率5A 股票的隐含波动率0.31 7 月份到期的期权的价格和：协议价格为 35 的看涨期权的价格1.06 协议价格为 35 的看涨期权的0.377 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页协议价格为 30 的看跌期权的价格0.5 协议价格为 30 的看跌期权的0.196 运用联立方程， 我们可以求出使期权交易现金支出为0 的期权头寸。从表中可以看出，供我们选择的期权只有两种，因为股票的为1，为了降低组合的，可以购买看跌期权，同时为了降低保值成本，可以出售看涨期权来为购买看跌期权融资。具体的计算过程如下。假设 X 和 Y 分别为看涨期权和看跌期权合约的份数。那么我们的目标是5 0000股票的看涨期权的看跌期权的买入看跌期权的期权费支出出售看涨期权的期权费收入即10 0000.3770.1965 0000.51.060XYXY解方程可得6 305.17,13 366.94XY。所以大约需要 63 份看涨期权和 134份看跌期权。【本章小结】1. 动态套期保值就是分别算出保值工具与保值标的资产价值对一些共同的变量（如标的资产价格、时间、标的资产价格的波动率、无风险利率等） 的敏感度，这些敏感度分别用、 、和 rho表示，然后通过建立适当的保值工具的头寸，使保值组合处于、和 rho 中性状态。2. 期权的 Delta 用于衡量期权价格对标的资产市场价格变动的敏感精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页度，它等于期权价格变化与标的资产价格变化的比率。3. 当证券组合中含有标的资产、该标的资产的各种期权和其他衍生证券的不同头寸时， 该证券组合的值就等于组合中各种资产值的总和（标的资产相同的情形） 。4.值为 0 的证券组合处于 Delta 中性状态。当证券组合处于中性状态时，组合的价值就不受标的资产价格波动的影响，从而实现了套期保值。5. 在不考虑交易费用并假设波动率为常数的情况下，运用标的资产进行 Delta 中性套期保值的成本和效果就和买入了一个看涨期权多头一样。也就是说，套期保值的结果是：我们通过标的资产构成了一个“合成的期权头寸” 。6. 期权的 Theta （）用于衡量期权价格对时间变化的敏感度，是期权价格变化与时间变化的比率。7. 期权的 Gamma（）是一个与 Delta 联系密切的敏感性指标，是Delta 的敏感性指标，它用于衡量该证券的Delta 值对标的资产价格变化的敏感度。8. 当证券组合中含有标的资产和该标的资产的各种期权和其他衍生产品时，该证券组合的值就等于组合内各种期权值与其数量乘积的总和。9. 计算证券组合的值对于套期保值的重要意义体现在它可用于衡量中性保值法的保值误差。10. 关于 Delta，Theta和 Gamma三者之间的符号关系如下表所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页Delta Theta Gamma 多头看涨期权多头看跌期权空头看涨期权空头看跌期权11. 期权的 Vega（）用于衡量该证券的价值对标的资产价格波动率的敏感度，RHO 用于衡量期权价格对利率变化的敏感度。12.、 、和 rho 中性状态只能维持一个相当短暂的时间。随着S、Tt、r 和的变化，避险者需要定期调整保值头寸以便使保值组合重新处于中性状态。13. 由于频繁地进行动态套期保值需要较高的手续费，因此套期保值者应在成本与可容忍的风险之间进行权衡。【参考阅读】1施兵超著 . 金融期货与选择权 . 台北：五南图书出版有限公司，1999 2美约翰 赫尔著，张陶伟译 . 期权、期货和衍生证券 . 中译本. 北京：华夏出版社， 1997 3郑振龙主编 . 金融工程 . 第 1 版. 北京：高等教育出版社， 2003 4Robert, W. Kolb (1999) Futures, Options and Swaps , 3rd(ed.), London: Blackwell Publishers 【思考与练习】1. 解释 Delta 中性、Gamma中性、Vega中性、Theta中性和 rho 中性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页以及它们之间的关系。2. 一个看涨期权的Delta 值为 0.7 意味着什么？若每个期权的Delta值均为 0.7，如何使一个 1000 个看涨期权的空头变成Delta 中性? 3. 无风险年利率为 10，股票价格的年波动率为25。计算标的为不支付红利的股票、 6 个月期的平价欧式看涨期权的Delta 值。4. 以年计，一个期权头寸的Theta值为 0.1 意味着什么？若一个交易者认为股票价格的隐含波动率都不会变，那么期权头寸是什么类型？5. 为什么说对于处于实值状态的无收益资产欧式看跌期权和处于实值状态的附有很高利率的外汇的欧式看涨期权来说，Theta可能为正？6. 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权，假设现在日元的汇率为 1 日元=0.80 美分，期权的协议价格为0.81美分，美国和日本的无风险利率分别为8%和 5%， 日元的年波动率为15%，请计算该期权的 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 值，并解释其含义。7. 有三个看涨期权， C、D 和 E，标的资产相同，价格均为80 美元，无风险年利率为 7%，年波动率为 20%。C 的执行价格为 70 美元，还有 90 天到期； D 的执行价格为 75 美元，还有 90 天到期； E 的执行价格为 80 美元， 还有 120天到期。计算上述期权的价格、 Delta值和 Gamma值。8. 用第七题的数据计算：如果已有一份看涨期权C，如何用 C 和 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页构造一个 Delta 中性组合？如何用C、D 和 E 构造一个同时达到Delta 中性和 Gamma中性的组合？9.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页