二次函数中三角形面积最大值综合题

. . 2017中考数学全国试题汇编-二次函数中三角形面积最大值综合题28（2017）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点（1）求二次函数的表达式；（2）连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；（3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系解：（1）将点B，点C的坐标分别代入，得：， 1分解得：，该二次函数的表达式为 3分（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则，MNBCxAOyB（-2，0）, C（8，0）,BC=10.令，解得：，点A（0，4），OA=4，MNAC， 4分OA=4，BC=10， 5分 6分当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大 7分（3）当N（3，0）时，N为BC边中点.M为AB边中点， 8分， 9分10分24（2017）.抛物线经过点 和点 。（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线 相交于两点，点是抛物线上的动点且位于轴下方。直线 轴，分别与 轴和直线 交与点。连结，如图12-1，在点运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；连结 ，过点作，垂足为点，如图12-2。是否存在点 ，使得与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。分析（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；当CNQ与PBM相似时有=或=两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标解答解：（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），解得，该抛物线对应的函数解析式为y=x2x+3；（2）点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，可设P（t， t2t+3）（1t5），直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，M（t，0），N（t， t+3），PN=t+3（t2t+3）=（t）2+联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，C（0，3），D（7，），分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，则CE=t，DF=7t，SPCD=SPCN+SPDN=PNCE+PNDF=PN= （t）2+=（t）2+，当t=时，PCD的面积有最大值，最大值为；存在CQN=PMB=90，当CNQ与PBM相似时，有=或=两种情况，CQPM，垂足为Q，Q（t，3），且C（0，3），N（t， t+3），CQ=t，NQ=t+33=t，=，P（t， t2t+3），M（t，0），B（5，0），BM=5t，PM=0（t2t+3）=t2+t3，当=时，则PM=BM，即t2+t3=（5t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；当=时，则BM=PM，即5t=（t2+t3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，）或（，）点评此题为二次函数的综合应用，涉与待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想与分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点坐标表示出PCD的面积是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，难度较大24.在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为，即（1）在上面规定下，抛物线的顶点为.伴随直线为；抛物线与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点 (点在点 的右侧)与 轴交于点若 求的值；如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当 取得最大值 时，求的值.分析（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在RtABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值解答解：（1）y=（x+1）24，顶点坐标为（1，4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）4，即y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，其交点坐标为（0，3）和（1，4），故答案为：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；（2）抛物线解析式为y=m（x1）24m，其伴随直线为y=m（x1）4m，即y=mx5m，联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，A（1，4m），B（2，3m），在y=m（x1）24m中，令y=0可解得x=1或x=3，C（1，0），D（3，0），AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，CAB=90，AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=，当CAB=90时，m的值为；设直线BC的解析式为y=kx+b，B（2，3m），C（1，0），解得，直线BC解析式为y=mxm，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，点P的横坐标为x，P（x，m（x1）24m），Q（x，mxm），P是直线BC上方抛物线上的一个动点，PQ=m（x1）24m+mx+m=m（x2x2）=m（x）2，SPBC=（2（1）PQ=（x）2m，当x=时，PBC的面积有最大值m，S取得最大值时，即m=，解得m=2点评此题为二次函数的综合应用，涉与待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）中用x表示出PBC的面积是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中24（2017）如图，已知抛物线y=ax2+c过点（2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（、=），并证明你的判断；（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标与QBF的最大面积；若不存在，请说明理由考点HF：二次函数综合题分析（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）设B（x， x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（x2+12）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断BCF为等边三角形，所以BCF=60，则OCF=30，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；（4）作QEy轴交AB于E，如图2，先解方程组得B（1+，3+），设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），则EQ=t2+t+1，则SQBF=SEQF+SEQB=（1+）EQ=（1+）（t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题解答解：（1）把点（2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y=x2+1；（2）BF=BC理由如下：设B（x， x2+1），而F（0，2），BF2=x2+（x2+12）2=x2+（x21）2=（x2+1）2，BF=x2+1，BCx轴，BC=x2+1，BF=BC；（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，CB=CF=PF，而CB=FB，BC=CF=BF，BCF为等边三角形，BCF=60，OCF=30，在RtOCF中，CF=2OF=4，PF=CF=4，P（0，6），即自然数m的值为6；（4）作QEy轴交AB于E，如图2，当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，解方程组得或，则B（1+，3+），设Q（t， t2+1），则E（t，t+2），EQ=t+2（t2+1）=t2+t+1，SQBF=SEQF+SEQB=（1+）EQ=（1+）（t2+t+1）=（t2）2+1，当t=2时，SQBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）25（2017东营）如图，直线y=x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，ACB=90，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值分析（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在RtBOC中由三角函数定义可求得OCB=60，则在RtAOC中可得ACO=30，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知MDH=BCO=60，在RtDMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值解答解：（1）直线y=x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，B（3，0），C（0，），OB=3，OC=，tanBCO=，BCO=60，ACB=90，ACO=30，=tan30=，即=，解得AO=1，A（1，0）；（2）抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，解得，抛物线解析式为y=x2+x+；（3）MDy轴，MHBC，MDH=BCO=60，则DMH=30，DH=DM，MH=DM，DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，当DM有最大值时，其周长有最大值，点M是直线BC上方抛物线上的一点，可设M（t， t2+t+），则D（t， t+），DM=t2+t+），则D（t， t+），DM=t2+t+（t+）=t2+t=（t）2+，当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=，即DMH周长的最大值为点评此题为二次函数的综合应用，涉与待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、方程思想等知识在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键此题考查知识点较多，综合性较强，难度适中25（2017聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式与其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=75，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？考点HF：二次函数综合题分析（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PCy轴于点C，由条件可求得PAC=60，可设AC=m，在RtPAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PEx轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出PAB的面积，利用S四边形PAMB=SPAB+SAMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值解答解：（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，抛物线的表达式为y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2+8，抛物线的顶点坐标为（2，8）；（2）如图1，过P作PCy轴于点C，OA=OB=6，OAB=45，当PAB=75时，PAC=60，tanPAC=，即=，设AC=m，则PC=m，P（m，6+m），把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=（m）2+2m+6，解得m=0或m=，经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，所求的P点坐标为（4， +）；（3）当两个支点移动t秒时，则P（t， t2+2t+6），M（0，6t），如图2，作PEx轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6t，F（t，6t），FP=t2+2t+6（6t）=t2+3t，点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，SPAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=（t2+3t）6=t2+9t，且SAMB=AMOB=t6=3t，S=S四边形PAMB=SPAB+SAMB=t2+12t=（t4）2+24，当t=4时，S有最大值，最大值为2424（2017滨州）如图，直线ykxb（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A(4，0)、B(0，3)，抛物线yx22x1与y轴交于点C（1）求直线ykxb的解析式；（2）若点P(x，y)是抛物线yx22x1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值ABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)思路分析：（1）将A、B两点坐标代入ykxb中，求出k、b的值；（2）作出点P到直线AB的距离后，由于AHC90，考虑构造“K形”相似，得到MAH、OBA、NHP三个三角形两两相似，三边之比都是345由“”可得，整理可得d关于x的二次函数，配方可求出d的最小值；ABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)HMNABCOx1C EF（3）如果点C关于直线x1的对称点C，根据对称性可知，CECE当CFAB时，CEEF最小解：（1）ykxb经过A(4，0)、B(0，3),，解得k，b3yx3（2）过点P作PHAB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、NABCOy=kx+byx2+2x+1 P(x，y)HMN设H(m，m3)，则M(4，m3)，N(x，m3)，P(x，x22x1)PHAB，CHNAHM90，AMMN，MAHAHM90MAHCHN，AMHCNH90，AMHHNPMAy轴，MAHOBAOBANHP整理得：，所以当x，即P(，)（3）作点C关于直线x1的对称点C，过点C作CFAB于F过点F作JKx轴，分别过点A、C作AJJK于点J，CKJK于点K则C(2，1)ABCOx1C EFJK设F(m，m3)CFAB，AFJCFK90，CKJK，CCFK90CAFJ，JK90，AFJFCK，解得m或4（不符合题意）F(，)，C(2，1)，FCCEEF的最小值CE22（2017）如图，过抛物线y=x22x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为2（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；连结BD，求BD的最小值；当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式考点HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式分析（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OBOD；当点D在对称轴上时，在RtOD=OC=5，OE=4，可得DE=3，求出P、D的坐标即可解决问题；解答解：（1）由题意A（2，5），对称轴x=4，A、B关于对称轴对称，B（10，5）（2）如图1中，由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，当O、D、B共线时，BD的最小值=OBOD=5=55如图2中， 图2当点D在对称轴上时，在RtODE中，OD=OC=5，OE=4，DE=3，点D的坐标为（4，3）设PC=PD=x，在RtPDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直线PD的解析式为y=x+19 / 19