隐函数及由参数方程所确定学习教案

会计学1第一页，共21页。一、隐函数一、隐函数(hnsh)(hnsh)的导数的导数1 1 复习复习(fx):(fx):函数的表示法函数的表示法 1. 1.直接表示直接表示: : 解析式解析式 y=f(x) xD, y=f(x) xD, 这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数2 2 间接表示间接表示 (1)(1)由一个方程由一个方程F( (x, ,y)=0 )=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可确定函数 , , (2) (2)由两个方程确定由两个方程确定( (带一个中间变量带一个中间变量) )参数方程参数方程: : t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数. .122 yx21xy )()(tyytxx把一个隐函数把一个隐函数(hnsh)(hnsh)化成显函数化成显函数(hnsh), (hnsh), 叫做隐函数叫做隐函数(hnsh)(hnsh)的显化的显化. .第1页/共21页第二页，共21页。2 2 隐函数隐函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义一般地一般地,如果如果(rgu)变量变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下当在一定条件下当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的相应地总有满足这方程的唯一的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数在该区间内确定了一个隐函数例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数0 exyeydxdy解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x), 方程左边对方程左边对x求导得求导得 ,dxdyxydxdyeexyedxdyy 方程右边对方程右边对x求导得求导得0)0( 0 dxdyxydxdyey所以所以第2页/共21页第三页，共21页。从而从而)0)( yyexexydxdy注意注意: :在这个结果中在这个结果中, ,分式中的分式中的y= =y( (x) )是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数0 exyey例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数03275 xxyy0 xdxdy因为当因为当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以21 0 xdxdy解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,02112564 xdxdydxdyy由此得由此得2521146 yxdxdy所以所以 第3页/共21页第四页，共21页。例例3 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程(图图2-6)191622 yx 323, 2解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为所求切线的斜率为2 xyk椭圆方程的两边分别对椭圆方程的两边分别对x求导求导,有有0928 dxdyyx从而从而yxdxdy169 当当x=2时时, 代入上式得代入上式得323 y2 xdxdy43 于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为)2(43323 xy即即03843 yx第4页/共21页第五页，共21页。例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数0sin21 yyx22dxyd解解 应用隐函数的求导方法应用隐函数的求导方法,得得0cos211 dxdyydxdy于是于是ydxdycos22 上式两边再对上式两边再对x求导求导,得得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 上式右端分式中的上式右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数0sin21 yyx第5页/共21页第六页，共21页。3. 对数对数(du sh)求导法求导法方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法求出导数然后利用隐函数的求导方法求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu下面通过下面通过(tnggu)例子来说明这种方法例子来说明这种方法例例5.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对x第6页/共21页第七页，共21页。xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又第7页/共21页第八页，共21页。)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 幂指函数幂指函数 也可表示成也可表示成)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(xuxvexf 这样这样,便可直接求得便可直接求得)()()()(ln)()()(ln)(xuxuxvxuxvexfxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv第8页/共21页第九页，共21页。例例6 求求 的导数的导数)4)(3()2)(1( xxxxy两边对两边对x求导求导 41312111211xxxxyy于是于是解解 两边取对数两边取对数(假定假定 x4 ), 得得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy 413121112xxxxyy第9页/共21页第十页，共21页。当当2x3时时,)4)(3()2)(1(xxxxy 用同样的方法可得与上面相同的结果用同样的方法可得与上面相同的结果返回返回(fnhu)当当x1时时,)4)(3()2)(1(xxxxy 第10页/共21页第十一页，共21页。二、由参数方程所确定二、由参数方程所确定(qudng)(qudng)的函数的导的函数的导数数所确定的函数.所确定的函数.的函数为由参数方程的函数为由参数方程则称此函数关系所表达则称此函数关系所表达, ,间的函数关系间的函数关系与与若参数方程若参数方程xytytx确定确定 )()( 求导方法求导方法,)()(中中在方程在方程 tytx ),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy 第11页/共21页第十二页，共21页。, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即第12页/共21页第十三页，共21页。,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即第13页/共21页第十四页，共21页。例例7 7 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 tbytaxsincos求椭圆在求椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程4 t解解 当当 时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是: 4 t0M224sin224cos00bbyaax 第14页/共21页第十五页，共21页。 4 tdxdy 4)cos()sin( ttatb 4sincos ttatbab 曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:0M代入点斜式方程代入点斜式方程,即得椭圆在点即得椭圆在点 处的切线方程处的切线方程0M)22(22axabby 化简后得化简后得02 abaybx第15页/共21页第十六页，共21页。例例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为已知抛射体的运动轨迹的参数方程为 ,21,221gttvytvx求抛射体在时刻求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向解解 先求速度的大小先求速度的大小由于速度的水平分量为由于速度的水平分量为1vdtdx 铅直分量为铅直分量为gtvdtdy 2所以抛射体运动速度的大小为所以抛射体运动速度的大小为222122)(gtvdtdydtdxvv 第16页/共21页第十七页，共21页。在求速度的方向在求速度的方向,也就是轨迹的切线方向也就是轨迹的切线方向设设 是切线的倾角是切线的倾角,则根据导数的几何意义则根据导数的几何意义,得得 12tanvgtvdtdxdtdydxdy 所以所以,在抛射体刚射出在抛射体刚射出(即即t=0)时时,0tan t 0 tdxdy;12vv 当当 时时gvt2 gvt2tan gvtdxdy2 0 这时这时,运动方向是水平的运动方向是水平的,即抛物体达到最高点即抛物体达到最高点第17页/共21页第十八页，共21页。例例9 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所确定的函数所确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cost dtdxtdtddxyd1)2(cos22 )cos1(12sin212tat 2)cos1(1ta ),2(Znnt 返回返回(fnhu)第18页/共21页第十九页，共21页。三、相关三、相关(xinggun)(xinggun)变化率变化率. .变变化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的, ,之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率之之间间存存在在某某种种关关系系, ,与与而而变变量量都都是是可可导导函函数数, ,及及设设dtdydtdxyxtyytxx)()( 相关相关(xinggun)变化率的定义变化率的定义:例例10率是多少?率是多少? 观察员视线的仰角增加观察员视线的仰角增加米时米时 米/秒.当气球高度为米/秒.当气球高度为 其速率为其速率为上升,上升,米处离地面铅直米处离地面铅直 一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员,500140500第19页/共21页第二十页，共21页。解解则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升, ht500tanh 米米500米米500求导得求导得上式两边对上式两边对 tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米时米时当当 h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率即观察员视线即观察员视线(shxin)的仰角增加率是的仰角增加率是0.14rad/min返回返回(fnhu)第20页/共21页第二十一页，共21页。