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【原创】博雅高考2015届高三数学三轮高频考点新题演练：函数的概念与基本初等函数（含解析）一、选择题：共7题 每题5分 共35分1已知函数，其中实数，则下列关于的性质说法不正确的是A.若为奇函数，则B.方程可能有两个相异实根 C.在区间上为减函数D.函数有两个零点【答案】D【解析】本题主要考查了函数的奇偶性、单调性的判定，函数与方程以及函数零点的个数。A选项，因为函数为奇函数，所以有，即，得解得（舍去），或，所以A选项成立；B选项，函数，方程即为，整理得，等价于此方程为关于x的二次方程，所以可能有两个相异实根，B正确；C选项，设，则，因为，所以，所以，所以函数在区间上为减函数，所以C正确；D选项，由，使，可得，只有一个零点，故D错误。所以选D.2设，则A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小。因为，而，所以可得，选A.3如函数与函数在区间上都是减函数，则实数的取值范围为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查了初等基本函数的单调性。若函数在是减函数需满足，若函数在是减函数需满足，所以函数和在区间上都是减函数时实数的取值范围为.所以选D4设，则在下列区间中使函数有零点的区间是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查了零点存在性定理。因为，所以，所以在内有零点，选D.5已知A(0,4)为曲线y=x3+2x2+2x+4上一点,点P(x,y)为该曲线上不同于A的任一点,则直线AP的斜率k的最小值为A.1B.2C.D.【答案】A【解析】由题意知k=x2+2x+2=(x+1)2+11.故k的最小值为1.6已知函数y=f(x)的定义域是R,若对于任意的正数a,函数g(x)=f(x+a)-f(x)是其定义域上的增函数,则函数y=f(x)的图象可能是A.B. C.D.【答案】A【解析】设x1x2,由g(x)为其定义域上的增函数,得f(x1+a)-f(x1)f(x2+a)-f(x2),即f(x1+a)-f(x2+a),即曲线y=f(x)的割线的斜率单调递增.结合函数图象可知,选项A正确.7函数y=的图象大致为A.B. C.D.【答案】D【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令y=0得cos 6x=0,所以6x=+k,x=+,kZ,函数零点有无穷多个,排除C,且y轴右侧第一个零点为(,0),又函数y=2x-2-x为增函数,当0x0,cos 6x0,所以函数y=0,排除B,选D.二、填空题：共2题 每题5分 共10分8设函数，若互不相等的实数满足，则的范围为 【答案】(2，)【解析】本题主要考查了分段函数的单调性和运用数形结合的思想解题。由题意作出函数的图像，如图。若互不相等的实数满足，则函数的图像应与直线y=t有三个交点，由图可得，由得的范围为，而两根对应的点关于直线对称，所以，所以.yx6o28Y=t2abc9若在直角坐标平面内M,N两点满足:点M,N都在函数f(x)的图象上;点M,N关于原点对称,则称这两点M,N是函数f(x)的一对“靓点”.已知函数f(x)=,则函数f(x)有对“靓点”.【答案】1【解析】作出f(x)=的图象,然后作出y=3x(x0)的图象关于原点的对称图象,可以发现其对称图象与y=x-3(x0)的图象只有1个交点.结合定义可知函数f(x)有1对“靓点”.三、解答题：共2题 每题12分 共24分10定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数，(1)当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；【答案】解：(1)根据题意，根据有界函数的定义，需满足对任意，存在常数，都有成立，由于当时，,令，结合二次函数的性质，因为在上单调递增，即在的值域为故不存在常数，使成立，所以函数在上不是有界函数.(2)由题意知，函数在上是以4为上界的有界函数，即根据新定义可知对恒成立.所以， 令 对恒成立 运用对勾函数的性质可知，设，由，由在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为所以实数a的取值范围为.【解析】本试题主要是考查同学们对已新定义的理解和运用，关键是对于不等式恒成立问题的转化，考查了分析问题和解决问题的能力.11两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性,判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.【答案】(1)如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为.(2),;令得,所以,即;当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时,函数有最小值.【解析】本题考查函数的模型及其实际应用，导数在研究函数中的应用.7
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