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第二章第二章 导数与极限导数与极限2.1 导数的概念 1.引例(1).曲线的切线圆的切线 椭圆的切线?推广00( )(,()yf xxf x讨论曲线在点处的切线定义及其求法切线切线割线的极限位置割线的极限位置播放播放切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置切线切线割线的极限位置割线的极限位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 200200:(,),.yxM xyyx例 求曲线在点处的切线其中 2200:tanxxxx解00()xxxx 00,tan2xxx当时0002()yyx xx所求切线为2002yx xx即202,( ,)2 .xyxx xx由 的任意性 可得曲线上任一点处的切线斜率为xy xyoxy xyo:|(0,0)yx例 讨论曲线在点处的切线问题| 0:tan0 xx解|(0)xxx 0,tanx 当时无确定的极限,|(0,0)yx曲线在点处无切线. (2).变速直线运动物体的速度匀速直线运动距离速度时间( )ss t变速直线运动物体的运动规律0t求 时刻物体运动的瞬时速度st( )s tt0( )s t0t(1)s100000 , , ()t tt ttt在或的平均速度 00( )( )s ts tvtt0,()ttvA当时 若则可定义 瞬时 速度.瞬时速度是用平均速度的极限定义的.20,.stt例:设物体作直线运动,其运动规律为求物体在运动开始后 秒末的速度:解2200ttvtt00()tttt 00,2ttvt当时02.t所求瞬时速度为个单位2tt物体在时刻的速度为 2st0t20ttso2.导数概念(1).导数的定义00:( )(),yf xxN x定义设函数在点 的某邻域内有定义000( )(),f xf xxxAxx若当时0( )yf xx则称函数在点 处可导,0( )Ayf xx称 为函数在点 处的导数,0|,x xdydx0( )|.x xdf xdx00,xxx yyy记 0( )(),f xf xy即 000()()limxf xxf xx 000( )()limxxf xf xxx若不存在,0( )yf xx则称函数在点 不可导.xyxfx00lim)( 则，记为)( 0 xf ),(0 xy000)()(lim)( 0 xxxfxfxfxx即( , ),( )xa bf xx 若在点 可导,( )( , )f xa b则称函数在内可导.( )( )limuxf uf xux,导数是导函数的值,通常称导函数为导数.而称导数为导数的值dxxdfdxdyyxf)(,),( 导函数xxfxxfxfx)()(lim)(00| )()( 0 xxxfxf即例(电流强度)恒定电流( )( )QIt电量电流强度时间非恒定电流000( ),( ).tQQ ttI t 设从 到 这段时间内通过导线横截面的电量为求时刻 的电流强度解:00t ,t + t00或t + t,t ( t0)00电量增量 Q=Q(t + t)-Q(tQt平均电流强度I)00Q(t + t)-Q(tt00)()limlimttQIt 000Q(t + t)-Q(ttt)(0tQ:( )f xx例 求函数的导数. :解0 x 0limxyx 0limxxxxx 0()lim()xxxxxxxx 12 xxxxf21)()(2).导数的几何意义/0000( )()( )(,(),yf xxfxyf xxf x 函数在点 处的导数表示曲线在点处的切线斜率/000()()().yf xfxxx切线方程 00(,()( )xf xyf x 过点且与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线./0()0,fx当时/01,()fx法线斜率00/01()().()yf xxxfx 法线方程 /0()0,fx当时0.xx法线方程 2,yxxyx例:在抛物线上的哪些点处,其切线 (1).平行于 轴; (2).平行于直线并分别写出切线方程和法线方程.解:/0,y 令0,x 得0,y (0,0).点0,y 切线方程0.x 法线方程xyxy2 , ).1 (21,2x 得1,4y 1 1( , ).2 4点11,42yx切线方程 1,4yx即11(),42yx 法线方程 3.4yx 即1 ).2( y令(3).函数的增加率/00()( ).fxyf xx表示在点 处因变量相对于自变量变化的瞬时增加率 经济学上的两个重要指标( ),R xxRx 用表示生产商生产某种产品的收入函数 其中 是产量是产量为 时的收入0,xx现产量从 增加到00( )(),R xR xxx收入的平均增长率为0/0000( )()()limxxR xR xR xxxx称为产量是 时的边际收入.( )C x用表示生产商的成本函数,0/0000( )()()lim.xxC xC xCxxxx则为产量是 时的边际成本( ),L x利润函数( )( )( ),L xR xC x有/000()()R xCxx 满足的是使生产商能取得最大利润时的产量.
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