2019-2020年高考数学二轮复习 限时训练24 计数原理、二项式定理 理

2019-2020年高考数学二轮复习限时训练24计数原理、二项式定理理1. （xx山西省高三质监）A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有（）A.60种B.48种C.30种D.24种解析：选B.由题知，B、C视为一人与其余三人全排血种，B、C排法A2种，所以不同的座次42有A2A4=48（种），故选B.242. （xx高考四川卷）在x（l+x）6的展开式中，含X3项的系数为（）A.30B.20C.15D.10解析：选C.根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数.因为（1X）6的展开式的第（r+1）项为T=CrXr,x（l+x）6的展开式中含X3的项为C2X3=15x3,所以r166系数为15.3. （xx郑州市模拟）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.3种B.6种C.9种D.18种解析：选C.由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从里边选出3门的选法有C3=510（种）.两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种.满足题意的选法有10-1=9（种）.所以选C.4. 航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）A.12种B.16种C.24种D.36种解析：选D.当甲排在边上时，先排甲有C;种分法，再排乙、丁有4种方法，最后排余下两舰有A;种方法，共有2A3=12种方法；当甲不排在边上时，共有12A;=24种方法，这样一共有1224=36种不同的着舰方法.5. （XX高考湖北卷）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.29B.210解析：选A.先利用展开式中第4项与第8项的二项式系数相等建立关于n的方程，求出n；再利用二项式系数的性质求出奇数项的二项式系数和由C3=C7，得n=10，故奇数项的二项式系数和为29.nn6. (xx山东师大附中模拟)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A.360B.520C.600D.720解析：选C.当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为2C3A4=480,当甲、乙同时54参加时，不同的发言顺序的种数为A2A2=120,贝9不同的发言顺序的种数为480+120=600,53故选C.7. (xx高考陕西卷)二项式(x+1)n(nWN+)的展开式中X2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4解析：选B.根据二项展开式的通项公式求解.(X+I)n=(1+x)n，(1+x)n的通项为T=CXr,r+1n令r=2，贝yC2=15，即n(n1)=30.又n0,得n=6.n8. (xx山西省太原模拟)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上，贝同一科目书都不相邻的放法种数是()A.24B.48C.72D.96解析：选B.按照物理课本的位置分类.可以分成5类，即物理课本依次排放在左起第一、二、三、四、五位.当物理课本放在第一、二、四、五位的时候，都有qC;C;=8种放法；当物理课本放在第三位的时候，有C;C;C厂C;=16种放法，.一共有8X4+16=48种符合要求的放法.9. (xx高考湖北卷)若二项式卜乂+斗的展开式中的系数是84,则实数a=()XjX3A.2C.1D.B.24解析：选C.利用二项展开式的通项公式求解.二项式(2x+xJ7的展开式的通项公式为Tr+=C7(2x)7-r(x)=C727-ox7-2r,令72r=3,得r=5.故展开式中X的系数是C522a5=84,解得a=l.x3710. (x+l)(x2)6的展开式中X4的系数为()A100B15C.35D.220解析:选A.由二项式定理可得，(x2)6展开式的通项T丄=Cr(2)rX6-r,.*.x3的系数为C3(r1662)3=160,X4的系数为C2(2)2=60,.(x+1)(x2)6的展开式中X4的系数为一160+606=100.11.计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有()A.60种B.42种C.36种D.24种解析：选A若3个项目分别安排在不同的体育馆，则安排方案共有A3=24(种)；若有2个4项目安排在同一个体育馆，另一个安排在其他体育馆，则安排方案共有C2A2=36种，所以34在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60(种).故选A.12. 一个五位自然数aaaaa,aw0,1,2,3,4,5,i=1,2,3,4,5,当且仅当aaa,aaa12345i123345时称为“凹数”(如32014,53134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()A.110B.135C.145D.146解析:选D.分四种情况进行讨论:(1) a是0,a和a有C2种排法,a和a有C2种排法，则五位自然数中“凹数”有C2C2=100(个)；312545555(2) a是1,有C2C2=36(个)；(3)a是2,有C2C2=9(个)；(4)a是3,有C2C2=1(个).由分344333322类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100+36+9+1=146(个).13. (xx高考北京卷)在(2+x)5的展开式中，x3的系数为.(用数字作答)解析:利用二项展开式的通项公式求解.设通项为T=G25-rxr,令r=3，则X3的系数为C3X22=10X4=40.r+155答案:4014. 若(2x1)5=ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a对xWR均成立，贝Ua+a=.54321024解析:本题主要考查二项式定理，意在考查考生的计算能力.T=Cr(2x)5r(1)r=Cr25r(1)rx5r，r+155.a=C124(1)1=80，a=C322(1)3=40，4525.a+a=120.24x答案：12015. (xx石家庄模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为(用数字作答).解析：甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，也是1种.然后再把这两组分到不同班级里，则共有(1+2+l)A2=8种分法.答案：82019-2020年高考数学二轮复习限时训练25概率文1. (xx高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A,A和1个白球B的甲箱与装有2个红球a,a和2个白球1212bi，b2的乙箱中，各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗？请说明理由.解：(1)所有可能的摸出结果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2.(2)不正确.理由如下：由知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为A1，ai，A1，41121aj,迟，aj,迟，aj，共4种，所以中奖的概率为正=3，不中奖的概率为1一3=33，故这种说法不正确.2. (xx郑州质检)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120y40学生xz130(1) 现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2) 在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率解：由题意知500=0.3,所以x=150,所以y+z=6,因为z=2y，所以y=20,z=40.则应抽取教师人数为50500X20=2，应抽取学生人数为,50500X40=4.(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a,b,4名学生记为1,2,3,4,随机选出3人的不同选法有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20种,至少有1名教师的选法有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,1,2),(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)，共16种，164故至少有1名教师被选出的概率P=20=5.2053. (xx长春市质检)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次，投中的次数统计如下表：学生1号2号3号4号5号甲班65798乙班48977(1) 从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明)；(2) 在本次训练中，从两班中分别任选1名同学，比较2人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.解：(1)两个班数据的平均值都为7，甲班的方差2+2+2+2+2S2=2,15乙班的方差214r*7r*7因为S2S2，甲班的方差较小，所以甲班的成绩更稳定.甲班1到5号记作a,b,c,d,e,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选1名同学，得到的基本事件样本空间为Q=a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,d1,d2,d3,d4,d5,e1,e2,e3,e4,e5,Q由25个基本事件组成.将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A,则A=al,bl,cl,di,d2,d4,d5,el,e4,e5,A由10个基本事件组成,102所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为亦=亍4. (xx陕西省高三质检)某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，记成绩不小于80分者为A等,小于80分者为B等.男女965688672345677582451934(1) 求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2) 如果用分层抽样的方法从A等和B等中共抽取5人组成“创新团队”，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等的概率.解：(1)由题中茎叶图知,女生共14人,中间两个成绩是75和76,则女生成绩的中位数是75.5.1男生成绩的平均数为X=-(69+76+78+85+87+91)=81.651(2)用分层抽样的方法从A等和B等学生中共抽取5人，每个人被抽中的概率是20=4，根据茎叶图知，A等有8人，B等有12人，所以抽取的A等有8x4=2(人)，B等有12x4=3(人)，记抽取的A等2人分别为A1，A2,抽取的B等3人分别为B1，B2,B3,从这5人中抽取2人的所有可能的结果为(A,A),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),12111213212223(B,B),(B,B),(B,B),共10种，121323其中至少有1人是A等的结果为(A,A),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),121112132122(AB)共7种237所以至少有1人是A等的概率为亦.