高中数学求函数值域的7类题型和16种方法汇总

求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1定义：在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。2确定函数的值域的原则当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域：1.一次函数的值域为R.2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，3.反比例函数的值域为.4.指数函数的值域为.5.对数函数的值域为R.6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为，其值域为； 2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数的值域（最值）1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为2、二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系（1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者；当时，是函数的最大值，最大值为中较小者。（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。例2：已知，且，则的值域为 。题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为2、形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为（2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。例3：函数的值域为 ；若时，其值域为 。例4：当时，函数的值域 。 （2）已知，且，则的值域为 。例5：函数的值域为 ；若，其值域为 。题型四：二次分式函数的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；分子、分母必须是既约分式。例6：； 例7：； 例8：； 例9：求函数的值域解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 当时，上述方程要在区间上有解，即要满足或 解得： 综合得：原函数的值域为：题型五：形如的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域： 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11： 例12： 题型七：复合函数的值域 对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13： 例14： 四、函数值域求解的十六种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数，求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （2）配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1求函数的值域。分析与解答：因为，即，于是：，。例2求函数在区间的值域。分析与解答：由配方得：，当时，函数是单调减函数，所以；当时，函数是单调增函数，所以。所以函数在区间的值域是。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x20，解出定义域为-3，1。 函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2例2：求函数，的值域。 例3：求函数的值域。 （4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由解得，函数的值域为。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。例1：求函数的值域。解：，函数的值域为。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令.例1：求函数的值域。解：令（），则，当，即时，无最小值。函数的值域为。例2求函数的值域。分析与解答：令，则。，当时，值域为例3求函数的值域。分析与解答：由=，令， 因为，则=，于是，所以。（7）判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域。对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例1：求函数的值域。解：由变形得，当时，此方程无解；当时，解得，又，函数的值域为（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例1：求函数的值域。解：当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，函数在定义域上是增函数。，函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，则；当时，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，又，所以：，。（9）基本不等式法利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件;为定值；取等号成立的条件.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数的值域。例1 求函数的值域. 解: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2：求函数的值域. 解： 当且仅当时，即时等号成立，所以元函数的值域为.例3. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4. 求函数的值域。解： 当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（10）函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如，由于正余弦函数都是有界函数，值域为-1，1，利用这个性质可求得其值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，（，），s函数的值域为形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。例2求函数的值域解： 由得例3：求函数的值域。 例4：求函数的值域。 （11）数型结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点与连线的斜率或距离。例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域。解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3。解法2（几何法或图象法）：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+。如图 ）例2求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3求函数的值域。解析：令，则，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以，值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。（12）复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1、求函数 的值域（复合函数法）设 ，则 例2：求函数的值域。 （13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)， 故 所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，即 ， 当时， ，解得又 ， 所以 ，故 所求函数的值域为 。（不等式性质法）例2：求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y= （4）y=10-； （2）y=； （3）y=（14）导数法 若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.例1： 求函数在内的值域.分析:显然在可导，且. 由得的极值点为. . . 所以, 函数的值域为. （15）“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得.2.运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后， 可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.例2 求函数（，）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.例3 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例4 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例5 求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为： 平方法）函数定义域为： （16）一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为（17）其他方法其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。例1. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例2. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。例3.求函数 的值域解：（图象法）如图，值域为例4.求函数 的值域解（复合函数法）：令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为例5.求函数的值域解（三角代换法）： 设 小结：（1）若题目中含有，则可设 （2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设。其中例6、求函数 的值域解法一：（逆求法） 解法二：（复合函数法）设 ，则 解法三：（判别式法）原函数可化为 1） 时 不成立2） 时，综合1）、2）值域解法四：（三角代换法）设，则 原函数的值域为小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、与函数值域有关的综合题例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解 设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,将x=代入上式得 S=5000+44 (8+),当8=,即=1)时S取得最小值 此时高 x=88 cm,宽 x=88=55 cm 如果，可设10,S(1)S(2)0恒成立，试求实数a的取值范围 解 (1) 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一 在区间1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 例3设m是实数，记M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)证明 当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM (2)当mM时，求函数f(x)的最小值 (3)求证 对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解 设u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小 而u=(x2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明 当mM时，m+=(m1)+ +13,当且仅当m=2时等号成立 log3(m+)log33=1