物理奥赛讲义《动力学》

第二部分牛顿运动定律第一讲牛顿三定律一、牛顿第一定律1、定律。惯性的量度2、观念意义，突破“初态困惑”二、牛顿第二定律1、定律2、理解要点a、矢量性b、独立作用性：SFa,XFa.xxc、瞬时性。合力可突变，故加速度可突变（与之对比：速度和位移不可突变）；牛顿第二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”）。3、适用条件a、宏观、低速b、惯性系对于非惯性系的定律修正引入惯性力、参与受力分析三、牛顿第三定律1、定律2、理解要点a、同性质（但不同物体）b、等时效（同增同减）c、无条件（与运动状态、空间选择无关）第二讲牛顿定律的应用一、牛顿第一、第二定律的应用单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少，一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。应用要点：合力为零时，物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度时才需要合力。有质量的物体才有惯性。a可以突变而v、s不可突变。1、如图1所示，在马达的驱动下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。现将一工件（大小不计）在皮带左端A点轻轻放下，则在此后的过程中（）A、一段时间内，工件将在滑动摩擦力作用下，对地做加速运动B、当工件的速度等于v时，它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力C、当工件相对皮带静止时，它位于皮带上A点右侧的某一点D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态解说：B选项需要用到牛顿第一定律，A、C、D选项用到牛顿第二定律。较难突破的是A选项，在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上，建议使用反证法（t0，a0，则SF0，必然会出现“供不应求”的局面）和比较法（为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑X动？因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”）此外，本题的D选项还要用到匀变速运动规律。用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出只有当L2巴时（其中卩为工件与皮带之间的动摩擦因素），才有相对静止的过程，否则没有。2g答案：A、D思考：令L=10m，v=2m/s，g=0.2，g取10m/s2，试求工件到达皮带右端的时间t（过程略，答案为5.5s）PBIIO进阶练习：在上面“思考”题中，将工件给予一水平向右的初速v0，其它条件不变，再求t（学生分以下三组进行） v0=1m/s（答：0.5+37/8=5.13s） v0=4m/s（答：1.0+3.5=4.5s） v0=1m/s（答：1.55s）2、质量均为m的两只钩码A和B,用轻弹簧和轻绳连接，然后挂在天花板上，如图2所示。试问： 如果在P处剪断细绳，在剪断瞬时，B的加速度是多少？.图2 如果在Q处剪断弹簧，在剪断瞬时，B的加速度又是多少？解说：第问是常规处理。由于弹簧不会立即发生形变”，故剪断瞬间弹簧弹力维持原值，所以此时B钩码的加速度为零（A的加速度则为2g）。第问需要我们反省这样一个问题：“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么？是A、B两物的惯性，且速度v和位移s不能突变。但在Q点剪断弹簧时，弹簧却是没有惯性的（没有质量），遵从理想模型的条件，弹簧应在一瞬间恢复原长！即弹簧弹力突变为零。答案：0；g。二、牛顿第二定律的应用应用要点：受力较少时，直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。闻：:受力比较多时，结合正交分解与“独立作用性”解题。在难度方面，“瞬时性”问题相对较大。1、滑块在固定、光滑、倾角为0的斜面上下滑，试求其加速度。解说：受力分析-根据“矢量性”定合力方向-牛顿第二定律应用答案：gsin0。思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，倾角仍为0，要求滑块与斜面相对静止，斜面应具备一个多大的水平加速度？（解题思路完全相同，研I話直线料面法线究对象仍为滑块。但在第二环节上应注意区别。答：gtg0。）进阶练习1：在一向右运动的车厢中，用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态，试求车厢的加速度。（和“思考”题同理，答：gtg0。）进阶练习2、如图4所示，小车在倾角为a的斜面上匀加速运动，车厢顶用细绳悬挂一小球，发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角卩。试求小车的加速度。解：继续贯彻“矢量性”的应用，但数学处理复杂了一些（正弦定理解三角形）。分析小球受力后，根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形，并找到相应的夹角。设张力T与斜面方向的夹角为0,贝I0=（90。+a）-卩=90-（卩-a）（1）对灰色三角形用正弦定理，有EFsinPsin0解（1）（2）两式得：SF=mg-sinPcos(pa)最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度）答：sinPcos(P-a)2、如图6所示，光滑斜面倾角为0,在水平地面上加速运动。斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球，当斜面加速度为a时（aVctgO）,小球能够保持相对斜面静止。试求此时绳子的张力T。解说：当力的个数较多，不能直接用平行四边形寻求合力时，宜用正交分解处理受力，在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。正交坐标的选择，视解题方便程度而定。解法一：先介绍一般的思路。沿加速度a方向建x轴，与a垂直的方向上建y轴，如图7所示（N为斜面支持力）。于是可得两方程SF=ma，即TN=maxxxSF=0，即T+N=mgyyy代入方位角0，以上两式成为Tcos0Nsin0=ma（1）Tsin0+Ncos0=mg（2）这是一个关于T和N的方程组，解（1）（2）两式得：T=mgsinO+macos0解法二：下面尝试一下能否独立地解张力T。将正交分解的坐标选择为：x斜面方向，y和斜面垂直的方向。这时，在分解受力时，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。矢量分解后，如图8所示。根据独立作用性原理，SFx=maxxx即：TG=maxx即：Tmgsin0=macos0显然，独立解T值是成功的。结果与解法一相同。答案：mgsin0+macos0思考：当actgO时，张力T的结果会变化吗？（从支持力的结果N=mgcos0masin0看小球脱离斜面的条件，求脱离斜面后，0条件已没有意义。答：T=mfg2+a2。）学生活动：用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”图7进阶练习：如图9所示，自动扶梯与地面的夹角为30，但扶梯的台阶是水平的。当扶梯以a=4m/s2的加速度向上运动时，站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。重力加速度g=10m/s2，试求扶梯对人的静摩擦力f。解：这是一个展示独立作用性原理的经典例题，建议学生选择两种坐标（一种是沿a方向和垂直a方向，另一种是水平和竖直方向），对比解题过程，进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。答：208N。3、如图10所示，甲图系着小球的是两根轻绳，乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角0已知。现将它们的水平绳剪断，试求：在剪断瞬间，两种情形下小球的瞬时加速度。解说：第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。（学生活动）思考：用竖直的绳和弹簧悬吊小球，并用竖直向下的力拉住小球静止，然后同时释放会有什么现象？原因是什么？结论绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律）。第二步，在本例中，突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推）。知识点，牛顿第二定律的瞬时性。答案：a甲=gsin0；a乙=gtg0。应用：如图11所示，吊篮P挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P、Q的加速度分别是多少？解：略。答：2g；0。三、牛顿第二、第三定律的应用要点：在动力学问题中，如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题，这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律。在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法”。前者是根本，后者有局限，也有难度，但常常使解题过程简化，使过程的物理意义更加明晰。对N个对象，有N个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N+1）个方程中必有一个是通解方程，如何取舍，视解题方便程度而定。补充：当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲，整体法不可用，但也有一种特殊的“整体方程”，可以不受这个局限（可以介绍推导过程）X和吧+2+m3a3+吧其中sF只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相外加。1、如图12所示，光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒，二二现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用，则棒中各部壬i“位的张力T随图中x的关系怎样？解说：截取隔离对象，列整体方程和隔离方程（隔离右段较好）。F答案：N=-x。1J思考：如果水平面粗糙，结论又如何？解：分两种情况，（1）能拉动；（2）不能拉动。第（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理，结论的化简也麻烦一些第(2)情况可设棒的总质量为M,和水平面的摩擦因素为卩，而F=卩；Mg,其中1VL,则xV(L-l)L的右段没有张力，x(L-l)的左端才有张力。答：若棒仍能被拉动，结论不变。l若棒不能被拉动，且F=卩LMg时(卩为棒与平面的摩擦因素，1为小于1JFL的某一值，M为棒的总质量)，当xV(L-l),N三0；当x(L-1),N=-x-L-1。应用：如图13所示，在倾角为0的固定斜面上，叠放着两个长方体滑块,起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为：它们的质量分别为mx和m2，它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为片和卩2，系统释放后能够A、片mcosO；B、卩2mcosO；C、片m2gcos0；D、片m2gcos0；解：略。答：B。(方向沿斜面向上。)思考：(1)如果两滑块不是下滑，而是以初速度v0一起上冲，以上结论会变吗？(2)如果斜面光滑，两滑块之间有没有摩擦力？(3)如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子，上面的滑块换成小球，它们以初速度v0一起上冲，球应对盒子的哪一侧内壁有压力?解：略。答：(1)不会；(2)没有；(3)若斜面光滑，对两内壁均无压力，若斜面粗糙，对斜面上方的内壁有压力。2、如图15所示，三个物体质量分别为m、m2和m3,带滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦均不计，绳子的质量也不计，为使三个物体无相对滑动，水平推力F应为多少？解说：此题对象虽然有三个，但难度不大。隔离m2,竖直方向有一个平衡方程；隔离m,水平方向有一个动力学方程；整体有一个动力学方程。就足以解题了。(m+m+m)mg答案：F=123m1思考：若将质量为m3物体右边挖成凹形，让m2可以自由摆动(而不与m3相碰)，如图16所示，其它条件不变。是否可以选择一个恰当的F,使三者无相对运动？如果没有，说明理由；如果有，求出这个F的值。解：此时，m2的隔离方程将较为复杂。设绳子张力为T,m2的受力情况如图，隔离方程为：T2-(mg)2=m2a22隔离m1，仍有：T=m1am解以上两式，可得：a=2gm2一m212最后用整体法解F即可。（m+m+m）mg答：当mlm2时，适应题意的F1232Jm2m2123、一根质量为M的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一质量为m的猫，如图17所示。现将系木棒的绳子剪断，同时猫相对棒往上爬，但要求猫对地的高度不变，则棒的加速度将是多少？解说：法一，隔离法。需要设出猫爪抓棒的力f，然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程，解方程组即可。法二，“新整体法”。据SF，=m,a+m2a+m3a+.+ma，猫和棒的系统外力只有两者的重力,外112233nn竖直向下，而猫的加速度曹=0，所以：（M+m）g=m0+Ma,解棒的加速度a十分容易。、M+m答案：-g。四、特殊的连接体当系统中各个体的加速度不相等时，经典的整体法不可用。如果各个体的加速度不在一条直线上，“新整体法”也将有一定的困难（矢量求和不易）。此时，我们回到隔离法，且要更加注意找各参量之间的联系。解题思想：抓某个方向上加速度关系。方法：“微元法”先看位移关系，再推加速度关系。、1、如图18所示，一质量为M、倾角为0的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。解说：本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂，但在垂直斜面方向上大小是相等的。对两者列隔离方程时，务必在这个方向上进行突破。（学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？沿斜面方向、垂直斜面方向建x、y坐标，可得:位移矢量示意图如图19所示。根据运动学规律，加速度矢量曹和a2也具有这样的关系。a1y=a2y1y2y且：a=asin01y2隔离滑块和斜面，受力图如图20所示。对滑块，列y方向隔离方程，有：mgcos0-N=ma1y对斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有:Nsin0=Ma2解式即可得a2。、msin0cos0答案：a2=g。2M+msm20（学生活动）思考：如何求a的值?解：a1已可以通过解上面的方程组求出；a1只要看滑块的受力图,1y1x,一rJ、mgsinO=mai，得:a=gsinO。最后据a1=Ja2+a2求a1。1X1X1V1x1y1列x方向的隔离方程即可,显然有答：a1M2+m(m+2M)sin20。M+msin202、如图21所示，与水平面成0角的AB棒上有一滑套C，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b，相对棒静止。当棒保持倾角0不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a(且agtg0)时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。解说：这是一个比较特殊的“连接体问题”，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。动力学方面，只需要隔离滑套C就行了。(学生活动)思考：为什么题意要求agtg0?(联系本讲第二节第1题之“思考题”)定性绘出符合题意的运动过程图，如图22所示：S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。沿棒与垂直棒建直角坐标后，S1表示S1在x方向上的1x1分量。不难看出：S+b=Scos01x设全程时间为t，则有：1S=-at21x2a1xt2答案：t=I2bacos0gsin0而且，以棒为参照，1a2相t2滑套的相对位移S相就是b，即:相(3)而隔离滑套，受力图如图23所示，显然mgsin0=ma1x解式即可。另解：如果引进动力学在非惯性系中的修正式sF外+F*=ma(注：F*为惯性力)，此题极简单。过程如下以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图24所示。注意，滑套相对棒的加速度a相是沿棒向上的，故动力学方程为：相F*cos0-mgsin0=ma(1)相其中F*=ma(2)解(1)(2)(3)式就可以了。