33函数的和、差、积、商的导数（一）

3.33.3 函数的和、差、积、商函数的和、差、积、商 的导数的导数( (一一) )yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期W W 1. 导数的定义：导数的定义：.)()(limlim)(,)()()(. )()(, )(xxfxxfxyxfyxfxxfxxfyxyxxfxxfyyxxxxfyxxxx0000000000000即即或或，记记作作处处的的导导数数（或或变变化化率率）在在点点叫叫做做处处可可导导，并并把把这这个个极极限限在在点点有有极极限限，我我们们就就说说函函数数时时，如如果果当当相相应应地地有有增增量量，那那么么函函数数增增量量处处有有在在如如果果自自变变量量定定义义：设设函函数数复复 习习 回回 顾顾 2. 求函数求函数 y = f (x) 在点在点 x0 处的导数的步骤：处的导数的步骤：.lim)()()()()()()()(xyxfxxfxxfxyxfxxfyx000000321取取极极限限，得得导导数数；求求平平均均变变化化率率；求求函函数数的的增增量量.sin)(cos;cos)(sin;)()(;)(xxxxQnxnxCCnn10为为常常数数3. 几种常见函数的导数：几种常见函数的导数： （一）两个函数的和与差的导数：（一）两个函数的和与差的导数： 法则法则 1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即个函数的导数的和（或差），即().uvuv其中其中 u 和和 v 都是关于都是关于 x 的函数，并且都是可导的的函数，并且都是可导的 .证明：证明： y = f (x) = u(x) v(x) ,)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()(xvxxvxuxxu ,vu ,xvxuxy 新新 课课 教教 学学xvxuxyxx 00limlimxvxuxx 00limlim, )()()(xvxuxf.)(vuvuy即即例例 1 求求 y = x 3 + sin x 的导数的导数 .例例 2 求求 y = x 4 x 2 x + 3 的导数的导数 .解：解：y=(x3+sinx)=(x3)+(sinx)=3x2+cosx解：解：y=(x4x2x+3) =(x4)(x2)x+3=4x32x1， （二）两个函数的积的导数：二）两个函数的积的导数： 法则法则 2 ：两个函数的积的导数，等于第一个函数：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即函数的导数，即(.)u vu vuv证明：证明： y = f (x) = u (x) v (x) ,)()()()(xvxuxxvxxuy )()()()()()()()(xvxuxxvxuxxvxuxxvxxu xxvxxvxuxxvxxuxxuxy )()()()()()( 因为因为 v(x) 在点在点 x 处可导，处可导，xxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx )()(lim)()()()(limlim000.)(vuvuuvy即即.)(uCuCuCuCCu02，另外，由法则另外，由法则(),.CuCu常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数即 于是当于是当 x 0 时，时，v(x+ x) v(x) .所以所以 v(x) 在点在点 x 处连续处连续.的导数的导数求求例例4532323xxxy.)( )(的导数的导数求求例例233242xxy()uvu vuv().CuCu5632xxy解：解： 3)32()23(42xxx98182xx)23)(32()23()32(22xxxxy解：解： 例例5 y=3x2+xcosx，求导数，求导数y.解：解：y=(3x2+xcosx) =(3x2)+(xcosx) =32x+xcosx+x(cosx) =6x+cosx+xsinxx例例6 y=5x10sinx2 cosx9，求，求y.x解解：y=(5x10sinx2 cosx9) xx1=(50 x9+2)sinx+(5x10)cosx=5(x10)sinx+5x10(sinx) 2( )cosx+2 (cosx)0 xxx=(5x10sinx)(2cosx)9x121212x=510 x9sinx+5x10cosx(cosx2sinx)xx1=50 x9sinx+5x10cosxcosx+2sinx ( )( )( )( )u xv xu xv x ()uvu vuv 推推 广广上述公式可以推广到个函数的情况：上述公式可以推广到个函数的情况： （f1+f2+fn) =f1+f2+fn（f1f2fn) = f1f2fn+ f1f2f3fn+ f1f2fn-1fn例例7* 已知已知231111( )()()()(),2222nnfxxxxxfn(x)= . 则则解：1()0 11(1,2,3, )2kxkn 233231111111( )1 ()()()() 1 ()()2222221111()()()() 12222nnnnfxxxxxxxxxxx令令x=0,得得233231231111231 2 3(1)21111 111 111(0)2222 222 222222222222 2 2222nnnnnnnnnn nf 例例7* 已知已知231111( )()()()(),2222nnfxxxxxfn(x)= . 则则1.求函数的导数求函数的导数. (1)y=2x3+3x25x+4 (2)y=sinxx+1 (3)y=(3x2+1)(2x) (4)y=(1+x2)cosx 练练 习习解解 ： （1）(2x3+3x2-5x+4)=(2x3)+(3x2)-(5x)+4 =23x2+32x-5=6x2+6x-5（2）y=(sinxx+1)=(sinx)x+1=cosx1（3）y=(3x2+1)(2x) =(3x2+1)(2x)+(3x2+1)(2x) =32x(2x)+(3x2+1)(1)=9x2+12x1（4）y=(1+x2)cosx=(1+x2)cosx+(1+x2)(cosx) =2xcosx+(1+x2)(sinx)=2xcosx(1+x2)sinx2.填空：填空：(1)(3x2+1)(4x23)=( )(4x23)+(3x2+1)( )(2)(x3sinx)=( )x2sinx+x3( )6x8x3cosx3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.(3+x2)(2x3)=2x(2x3)+3x2(3+x2)解：不正确解：不正确.(3+x)2(2x3) =(3+x2)(2x3)(3x2)(2x3) =2x(2x3)+(3+x2)(3x2) =2x(2x3)3x2(3+x2) ( )( )( )( )u xv xu xv x 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数。而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数。 ()uvu vuv求导法则求导法则求导法则可以推广到有限个函数的情况。求导法则可以推广到有限个函数的情况。 小小 结结 两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导可导函数和、差、积不一定不可导