理解霍普分岔

对于含参数的系统，当参数变动J并经过某些临界值时系统的定性性态（例灿乎衡状态或周期运动的敬目和稳定性等）会发生突然变化.这种变化称为分岔（bifnrc航iom,分岔是一类常见的重要非线性现象,并与其他非线性现象（如混沌,突变，分形、拟序结构等）密切相关,因此，在非线性科学中分岔研究占有重要地位.例2考虑微分方程组上=一部+域卅一（4+呻）,矗十站）的解随参数aCR变化的情况.在极坐标系中，比方程组可写成（侦/（w时）.0=1.利用初等积分法，不难得到当挡手。时当川=。时.其中。和加由初始条件决定.图1-2表示当参数弁取不同数值时此方程组在相平面上轨线分布情况（即相图）.可以看到，18时盘旋地趋于闭轨即（o,o）宝成不稳定的黑点q此同时出现一个稳定的极限环（即渐近稳定的孤立闭轨H显然，方程组（hi）的解的定性行为即相图的拓扑结构）在芥=o处发生突然变化，因比出现分岔（通常称为&霍普夫分*）.图12【例4考虑平面系统（1）.此系统对任何/R都只有一个平衡点。（0,向髭场在该处的导算子为刀（0,0,幻=（；一）当叫=0时，刀六0,0,0）有一对纯虚特征值士石，从而点。是非双曲平衡点,事实上，由微分方程定性理论可知，当时点O是稳定焦点，当必0时是不稳定焦点,因此，当增加并经过时，虽然平筏点的数目没有变化，但它由稳定变为不稳定，即稳定性发生突然变化；此外，还有一个稳定极限环突然从平衡点处胃出”.这种分岔称为H普夫分岔,（更准确地，应称为通有霍善夫分岔，见13）.图备7表明相图随凹变化的情况.为简单起见,在涉及闭机的分岔问题中，通常取闭轨的振幅（或截fH）r作为分岔图的纵坐标.图a8（1）给出上述霸普夫分岔的分岔图，图上r0的实线代表稳定极限环.在图牛8（1）上，极限是在参数秒大于分岔值的范围内存在的】这样的分岔称为超临界霍普夫分岔.而在另外的情形中，极限环是在参数小于分岔值的范围内存在的，这样的分岔祢为亚临界霜普夫分岔（见图8（ii）.上面介绍了一些重要的平街点分岔类型.一般地说，随着花分岔值伽处的导算子巩g伽）的实都为0的特征值数目增加，分岔情况也变得更复杂，例如，当口变化并经过闷时,可能有夏多的平衡点或极限环等从非双曲平衡点突然“冒出七4.2.1Hopf分岔定理当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf分岔。该分岔由Hopf丁1942年进行了严格的理论证明，即Hopf分岔定理。Hopf分岔定理：假定系统为x=fp(x)，其中xRn为状态变量，七R为系统参数,当卜=气时，系统有平衡点(X。,),且满足：(1)DXf%(x。)除了有一对共钥的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0;(2)土Re.-0制=0(4-1)则系统在平衡点(X。,)处发生Hopf分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。Hopf分岔包含2种情况，极限环在参数大于分岔值卬的范围内存在，称为超临界(supercritical)Hopf分岔，如图4.3(a)所示；极限环在参数小丁分岔值号的范围内存在，称为业临界(subcritical)Hopf分岔，如图4.3(b)所示。*V2RHo(a)超临界Hopf分岔R29时，振荡器中将产生稳定的周期6振汤，振汤频率f0尤一。由丁电路含有3个动态兀件3个电容电压为状态变量列出状态方程为:dv11,一=一(-2viV2Vo)dtRC些=1(M-2v2v3)dtRCdv31(v2-v3)dtRC代入放大器的转移特性，并令T=将时间归一化后，则有非线性状态方RC程：坐=2v+v2kv+mv3didv2_，、=Vi2v2+V3*(4-4)di令上式等丁0,可得相点(v1,v2,v3)=(0,0,0)是该电路唯一的平衡点。在平衡点处对方程进行线性化，得系数矩阵为：-21-kAm=1-21(4-5)_01T_则特征方程为：A3+5兀2+6k+1=0(4-6)当k=29时，=5,兀2,3=jx/6，有一对实部为零的共钥复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当k=28(29)时，0,上3=a(k)土挥(k),且a(k)0,此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点，系统状态变量的时域波形如图4.5(a)所示；当k29时，0,舄2,3=a(k)jWk),但a(k)0,即平衡点为不稳定双曲平衡点，系统产生一个稳定的极限环，系统状态变量的时域波形如图4.5(b)所示。由此可知，k=29是分岔临界值，当k从kv29增加经过k=29到k29时，相图的定性性质发生了质的变化。除平衡点的稳定性质变化外，还从平衡点分岔出极限环，即产生周期振荡，由Hopf分岔定理证明，该分岔为超临界Hopf分岔。(a)稳定的平衡点，k=28,m=1I.s.(b)稳定的极限环，k=30,g1图4.5系统状态变量的时域波形图Fig.4.5Thetime-domainwaveformsofstatevariables4.2.2电力电子中的Hopf分岔并联Boost变换器、滞环电流模式控制的Cuk变换器都可以产生Hopf分岔运动102。和倍周期分岔不同，Hopf分岔届丁慢标度分岔，需要建立变换器的平均模型来进行理论分析。根据平均模型可得到系统的雅可比矩阵，然后再根据Jacobian矩阵的特征值来判断平衡点的稳定性。由丁变换器经过Hopf分岔产生了极限环，该极限环周期与变换器内在周期可能存在不可通约的情况，即系统中存在两个比值为无理数的周期，所以Hopf分岔后将可能产生准周期的情况。这种变换器中的Hopf分岔通向混沌的路径如图4.6所示。图4.6Hopf分岔通向混沌的道路Fig.4.6Theroutetochaosviahopfbifurcation