（江苏专用）2020高考数学二轮复习 课时达标训练（八） ＂立体几何＂专题提能课

课时达标训练(八) “立体几何”专题提能课A组易错清零练1设l，m表示直线，m是平面内的任意一条直线则“lm”是“l”成立的_条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)解析：由lm，m，可得l，l或l与相交，推不出l；由l，m，结合线面垂直的定义可得lm.故“lm”是“l”成立的必要不充分条件答案：必要不充分2(2020南京盐城二模)已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为_解析：设正四棱锥PABCD的棱长为2x，则斜高为x，所以()2x2(x)2，得x1，所以该正四棱锥的棱长为2，表面积S4422sin 6044.答案：443.(2020苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥所得的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面的大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为_解析：如图，记挖去的正三棱锥为正三棱锥PABC，则该正三棱锥的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上设BC的中点为D，连接AD，过点P作PO平面ABC，交AD于点O，则AOPO2，AD3，ABBC2，所以SABC233，所以挖去的正三棱锥的体积VSABCPO322.答案：24(2020常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面圆为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为_解析：设圆锥SO的底面圆的半径为r，高为h，则圆柱PO的底面圆的半径为r，高为h，故圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为.答案：B组方法技巧练1(2020山东联考)如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，PQRH是棱长为4的正四面体，底面ABCD，QRH在同一个平面内，BCQH，则正方体中过AD且与平面PHQ平行的截面面积是_解析：设截面与A1B1，D1C1分别相交于点E，F，则EFAD.过点P作平面QRH的垂线，垂足为O，则O是QRH的中心设ORHQG，则EABPGO.由RG2得RO2OG，PO，所以sinEABsinPGO，即，则EA3，所以四边形AEFD的面积S4312.答案：122在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号为_解析：根据公理知平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确；根据线面垂直性质定理知“同垂直一个平面的两条直线平行”，知正确；均不恒成立故选.答案：3(2020宿迁模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为_解析：如图，不妨设N在B处，设AMh，CQm，则MB2h24，BQ2m24，MQ2(hm)24，由MB2BQ2MQ2，得m2hm20.h280h28，该直角三角形斜边MB 2，故该直角三角形斜边长的最小值为2.答案：24(2020如皋中学模拟)如图，已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别为AB和BC的中点(1)求证：MN平面AACC；(2)设AB AA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论解：(1)证明：如图，取AB 的中点E，连接ME，NE.因为M，N分别为AB和BC的中点，所以NEAC，MEAA.又AC平面AACC，AA平面AACC，NE平面 AACC，ME平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，又因为MENEE，所以平面MNE平面AACC，因为MN平面MNE，所以MN平面AACC.(2)连接BN，设AAa，则ABAAa，由题意知BCa，CNBN ，因为三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，所以平面ABC平面BBCC.因为ABAC，点N是BC的中点，所以ABAC，ANBC，所以AN平面BBCC，又CN平面BBCC，所以CNAN，要使CN平面AMN，只需CNBN即可，所以CN2BN2BC2，即222a2，解得，故当 时，CN平面AMN.5.如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求证：平面AEC平面ABE；(2)点F在BE上，若DE平面ACF，求 的值解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ABBC.因为平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE.因为EC平面BCE，所以ECAB.因为ECBE，AB平面ABE，BE平面ABE，ABBEB，所以EC平面ABE.因为EC平面AEC，所以平面AEC平面ABE.(2) 连结BD交AC于点O，连结OF.因为DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF，所以DEOF.又因为矩形ABCD中，O为BD的中点，所以F为BE的中点，即.C组创新应用练1下列命题：若直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a；若直线ab，直线b，则a；若直线ab，b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为_解析：对于，直线l虽与平面内的无数条直线平行，但l有可能在平面内，l不一定平行于，是假命题；对于，直线a在平面外，包括两种情况：a和a与相交，是假命题；对于，ab，直线b，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面内，a不一定平行于，是假命题；对于，ab，b，那么a或a，a与平面内的无数条直线平行，是真命题. 答案：12.如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA圆O所在的平面，且PAAB2，过点A作平面PB，分别交PB，PC于E，F，当三棱锥PAEF的体积最大时，tanBAC_解析：PB平面AEF，AFPB.又ACBC，APBC，BC平面PAC，AFBC，AF平面PBC，AFE90.设BAC，在RtPAC中，AF，在RtPAB中，AEPE，EF，VPAEFAFEFPEAF，当AF1时，VPAEF取得最大值，此时AF1，cos ，sin ，tan .答案：3.如图所示，等腰ABC的底边AB6，高CD3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BEx，V(x)表示四棱锥PACFE的体积，则V(x)的最大值为_解析：因为PEEF，PEAE，EFAEE，所以PE平面ABC.因为CDAB，FEAB，所以EFCD，所以，即，所以EF，所以SABC639，SBEFxx2，所以V(x)xx(0x3)因为V(x)，所以当x(0，6)时，V(x)0，V(x)单调递增；当6x3时，V(x)0，V(x)单调递减，因此当x6时，V(x)取得最大值12.答案：124. 如图所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点(1)求证：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥BDEG的体积解：(1)证明：在题图中，因为AC6，BC3，ABC90，所以ACB60.因为CD为ACB的平分线，所以BCDACD30，所以CD2.又因为CE4，DCE30，所以DE2.则CD2DE2CE2，所以CDE90，即DECD.在题图中，因为平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD，所以DE平面BCD.(2)在题图中，因为EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG，所以EFBG.因为点E在线段AC上，CE4，点F是AB的中点，所以AEEGCG2.过点B作BHCD交于点H.因为平面BCD平面ACD，BH平面BCD，所以BH平面ACD.由条件得BH.又SDEGSACDACCDsin 30，所以三棱锥BDEG的体积为VSDEGBH.5(2020南昌模拟)如图，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，PA2，AB1.设M，N分别为PD，AD的中点(1)求证：平面CMN平面PAB；(2)求三棱锥PABM的体积解：(1)证明：M，N分别为PD，AD的中点，MNPA，又MN平面PAB，PA平面PAB，MN平面PAB.在RtACD中，CAD60，CNAN，ACN60.又BAC60，CNAB.CN平面PAB，AC平面PAB，CN平面PAB.又CNMNN，平面CMN平面PAB.(2)由(1)知，平面CMN平面PAB，点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离AB1，ABC90，BAC60，BC，三棱锥PABM的体积VVMPABVCPABVPABC12.6(2020南通等七市二模)图1是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图2，屋顶由四坡屋面构成，其中前、后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左、右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM5 m，BC10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1)求屋顶面积S关于的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的新农村别墅，试问：当为何值时，总造价最低？解：(1)由题意知，FH平面ABCD，FMBC，由HM平面ABCD，得FHHM.在RtFHM中，HM5，FMH，所以FM.因此SFBC10.从而屋顶面积S2SFBC2S梯形ABFE222.2，所以屋顶面积S关于的函数关系式为S.(2)在RtFHM中，FH5tan ，所以下部主体高度h65tan .所以别墅总造价ySkh16kk(65tan )16k k k96k80k96k，记f()，0，则f()，令f()0，得sin ，又0，所以.当变化时，f()，f()的变化情况如下表所示，f()0f()所以当时，f()取得最小值即当为时该别墅总造价最低