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专题强化训练11.如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域(以O 为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围； (2)试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值ABOCD(1)因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx 5分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 7分2. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足.（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求？FABEDGC南居民楼活动中心（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中取3） 解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系（1）因为，所以半圆的圆心为，半径设太阳光线所在直线方程为，即， 则由，解得或（舍）.故太阳光线所在直线方程为， 令，得米米.所以此时能保证上述采光要求. （2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）. 故太阳光线所在直线方程为， 令，得，由，得. 所以.当且仅当时取等号. 所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点为，设过点G的上述太阳光线为，则所在直线方程为y(x30)，即 由直线与半圆H相切，得而点H(r，h)在直线的下方，则3r4h1000，即，从而 又.当且仅当时取等号.所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大. 3.已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记PAB=（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求的最大值解：（1），BAC=；由PAB=得CAQ=；S四边形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=；，当时，S四边形PBCQ取得最大值；（2）当BC=1时，BAC=，PAC=；=1=；时，取得最大值LABOMLLab4.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的位于该市的某大学与市中心的距离，且现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学其中，（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长（1）在中，且， 由余弦定理得， ，即大学与站的距离为； （2），且为锐角， 在中，由正弦定理得，, 即， ， ， 又， ， 在中， 由正弦定理得，即，即铁路段的长为 5.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC=1，AB=OB+OC，且OAOB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求NM的最大值及相应的x的值解：（1）OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y22xycos120=（y+1）2，解得y=，由x0，y0，得1x2，xy，x，得1x，OA的取值范围是（1，）（2）M=kOB=ky，N=4kSAOC=3kx，则NM=k（3xy）=k（3x），设2x=t，则t（，1），则NM=k3（2t）=k10（4t+）k（102）=（104）k，当且仅当4t=，即t=，x=2时，NM的最大值是）=（104）k6.在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，PAB=，求四边形APCB面积S（）的解析式及最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范围可得A+B=，从而求得C；（2）把三角形ABC的三边用R表示，再由S（）=SABC+SAPC，代入三角形面积公式化简，然后由（）求得四边形APCB面积S（）的最大值【解答】解：（1）由=，得=，sin2A=sin2B，2A，2B（0，2），2A=2B，或2A+2B=，即A=B或A+B=，A=B舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R，a=R，b=R，BAC=，CAP=，（），S（）=SABC+SAPC=，（），（），当时，7.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示，小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F，设AOE=弧度，小球从A到F所需时间为T（1）试将T表示为的函数T（），并写出定义域；（2）求时间T最短时的值解：（1）过点O作OGBC于G，则OG=1，OF=，EF=1+，AE=，T（）=+=+，；（2）由（1）可知T（）=，记cos0=，由0，可知：当（，0）时T（）0，即T（）在区间（，0）上单调递减，当（0，）时T（）0，即T（）在区间（0，）上单调递增，当=时时间T最短8.如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45 方向上，CO =（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）设AOE = （0 ），铺设三条分光缆的总费用为w（元） 求w关于的函数表达式； 求w的最小值及此时的值11.如图，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮作逆时针匀速转动，每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻（）时点距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过？（1）以为原点建系，在内转过的角为，以为始边，为终边的角为，故点纵坐标为，距地面高度为；（2）令即，.答：一圈内有2分钟超过.12.如图，有一块矩形空地，现规划在该空地四边形建一个商业区，其中顶点为商业区四个入口，且入口在边上（不包含顶点），入口分别在边上，矩形内其余区域均为绿化区。（1）设，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系，如图所示。 求直线的方程 求的取值范围。（2）设商业区域的面积为，绿化区域的面积为，问入口如何选址，即为何值时，可使得该商业区域的环境舒适度指数最大？13.图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；（2）求当取何值时，凹槽的强度最大【解】（）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为所以，得2分依题意知：得所以，（）6分（）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有，9分因为，所以，当时，当时，所以当，凹槽的强度最大13分答：所以当，凹槽的强度最大14分14.如图，OM，ON是两条海岸线，Q为大海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头已知，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km， km现要在海岸线ON上再建一个码头B，使得水上旅游线路AB（直线）经过小岛Q （1）求水上旅游线路AB的长；（2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，水波生成t h时的半径为（其中，R）强水波开始生成时，一游轮以 km/h的速度自码头A开往码头B，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由解：（1）以点O为坐标原点，直线OM为轴，建立直角坐标系如图所示则由题设得：，直线ON的方程为 由，解得，所以2分故直线AQ的方程为，由得即，故， 5分答：水上旅游线的长为km 6分（2）设试验产生的强水波圆P，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段AB上的点C处，则，所以若强水波不会波及游轮的航行即 即， 10分当时恒成立，当. ，当且仅当时等号成立，所以当时恒成立，即强水波不会波及游轮的航行14分答：在时，强水波不会波及游轮的航行 15分15.如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD是以O为顶点，x轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC是函数y=Asin（x+）（A0，0，|），x4，8时的图象，图象的最高点为B（5，），DFOC，垂足为F（I）求函数y=Asin（x+）的解析式；（II）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，水上乐园的面积最大？解：（）对于函数y=Asin（x+）由图象可知，A=，=，将（5，），代入y=sin（x+）得：，|，所以=，所以函数的解析式为y=sin（x）（）在y=sin（x）中，令x=4，得D（4，4）从而得曲线OD的方程为y2=4x，（0x4）设点P（）（0t4），则矩形PMFE的面积为S=，0t4因为S=4，由S=0得t=，且t时S0，S递增，t时S0，S递减，所以当t=，S最大，此时点P的坐标16.某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=f（9）=f（10）=1g（x）=（2）当1x20时，f（1）=f（2）f（x1）=f（x）=1g（x）=当21x60时，g（x）=当第x个月的当月利润率；（3）当1x20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21x60时，当且仅当时，即x=40时，又，当x=40时，17.如图，太湖一个角形湖湾（ 常数为锐角）. 拟用长度为（为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一 如图1，围成扇形养殖区，其中；方案二 如图2，围成三角形养殖区，其中；（1）求方案一中养殖区的面积；（2）求方案二中养殖区的最大面积；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由.（1）设，则，即，所以 .（2）设.由余弦定理，得,所以,所以,当且仅当时，“=”成立.所以 ,即.答:为使养殖区的面积最大.应选择方案一.
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