高等数学公式手册

一些初等函数:双曲正弦:shx双曲余弦:chx双曲正切:thx2x xe e2shx exchx earshxarchxarthxln(xx2 1)ln(x x21 , 1 x ln2 1 x1)高等数学公式手册两个重要极限:lim (1 一)x e 2.718281828459045三角函数公式:诱导公式：巧数 角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:和差化积公式:倍角公式:sin( cos(tg(ctg(sincostgcoscostg1 tg tgctg ctgctg ctgcossinsinsinsinsincoscossinsincoscos2 sincos222 cossin222 coscos222sinsin22sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin3cos3tg333sin 4sin34cos3 cos3tg tg31 3tg2半角公式：1 cos Sin 2.2,1 costg 2.1 cos正弦定理：一 sin Asin1cosbc2Rsin Bsin C1 cos sin1 cos cos-.2.2,1cos1 cos sinctg 一 21 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质：arcsin x - arccosx2arctgx一 arcctgx 2导数公式:(tgx)2sec x(ctgx)2 csc x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)ax Ina(logax)1xlna(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)_1_,1 x2122.1 x11 x211 x2基本积分表:tgxdx In cosx Cctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx C cscxdx In cscx ctgx Cdx2- cos xdx2 sin x2sec xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Cdx2 xdx2 adx2 x1, x c一 arctg 一 C2aLna lnH2a a xdx_ _ _x arcsin- a22I n sinn xdx cosn xdxoo22 , x 22.x a dx x a222 , x 22.x a dx , x a222 . x 22,a x dx a x2三角函数的有理式积分： 2u sin x r, cosx1 u2cscx ctgxdx cscx Cxx a _ a dx CIn ashxdx chx Cchxdx shx Cdx22x a2 a.22ln(x . x a ) C22a .2 cIn x Vx a C22 axarcsin C2ax x u tg-, 2dx2du1 u2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv)CuVk 0(n)(n 1) n(n 1) (n 2)u v nu v u v2!n(n 1) (nk!k 1) (n k) (k)u vuv(n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理： fb一f( 2 F(b) F(a) F ( )当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率:弧微分公式：ds .I y 2dx,其中y tg平均曲率：K:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;s： MM弧长。M点的曲率:1sm0dds(1y2)3直线：K 0;半径为a的圆:定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f (x)aaz(V。nyib ar 1 /一(yn 2b a盂 (y。yn)yn)yn 1)y122yn 1 V4yn 2) 4(y1 y3yn 1 )定积分应用相关公式: 功：W水压力:引力：Fmm2k2-r,k为引力系数函数的平均值：y1 b,f(x)dxb a aa均方根：1 f2(t)dt:b a,空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2向量在轴上的投影：Pr ju ABPrju(a a?) Prja Prja?a b cosaxbxayby两向量之间的夹角:coscabax bxay byaz bz向量的混合积:abc (a代表平行六面体的体积A(xAxx0)ByB(yCz2 x -2 a2x2P2 x-2 a2 x -2 a,、2,、2,、2.(x2 x1) (y2 y1) (z2 z1)AB cos ,是AB与u轴的夹角azbz，是一个数量,axbxaybyazbz22axayaz2 ,bx2,22bybza b sinb) cVo)DAx。.例:线速度:xo m2yb22y2q2 y b22 y b2多元函数微分法及应用2 z-2 c2 zc2 zcVo np,qax bxcxay by cyaz bzczb c cos ,为锐角时,C(z oBy。z0)Cz o、A B2 C2v 一 n A, B,C, Mvs m,n,p;o(xo, yo, zo)xomtV。zontPtx fx(x,y) xy z fy(x,y) y全微分：dz dx dy x y全微分的近似计算：z dz, u . u , u .du dx dy dz多元复合函数的求导法：zfu(t)Mt)dz z u z v dt u t v tz fu(x,y),v(x,y) 一 x当 u u(x,y), v v(x,y)时，du dx - dyx y隐函数的求导公式:, v , v ,dv 一 dx 一 dyx y隐函数F(x,y) 0,dy包dxFy隐函数 F(x,y,z) 0, J,xFz2u -(互)+(巨)电dx x Fy y Fy dx_zFy百F F (F,G) 工 (u,v) G Gu vFuFvGuGvu1(F,G)v1(F,G)xj(x,v)xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)隐函数方程组：F(x,y,u,v) 0G(x,y,u,v) 0微分法在几何上的应用：x (t)空间曲线y (t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：30 L0 0 小(t0) (t0) (t。)z (t)在点 M处的法平面方程：(t)(x x)(t0)(y y)(t)(z zO) 0若空间曲线方程为：为0则切向量T FyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)0GyGz GzGx GxGy曲面 F(x,y,z) 0 上一点 M (x0, y0,zO),则：1、过此点的法向量:n Fx(x0, y0,z0), Fy(x0,y0, 4), Fz(x0, y0,z)2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z)(x x) Fy(x0,y0,z)(y y) Fz(x, y ,z)(z 4) 03、过此点的法线方程:x x0y yz z0Fx(x0,y0,z0) Fy(x0,y0,z0) Fz(x0,y0,z)方向导数与梯度:函数zf (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为f一 cos Xf .siny其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i x它与方向导数的关系是：f grad f (x,y) e,其中e cos isinj,为l方向上的单位向量。f 是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：设 fx(xo,y)fy(X0, yo)ACB20时,则：ACAC0时,0日t,0,令：fxx(x0,y)A, fxy(x0,y)0,(x, y)为极大值0,(x。，y。)为极小值无极值不确定B,fyy(Xo,yo) C重积分及其应用:f (x, y)dxdyDf(r cosD,r sin )rdrd曲面z f(x, y)的面积A1 z2x2dxdy平面薄片的重心：x山Mx (x,y)dD(x, y)dMyMD平面薄片的转动惯量：对于x轴I x(X,y)d ,y (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I yx2 (x, y)dD平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力:Fxf 一D / 2 (x(x,y)xd3 a2)3Fy fD / 2(x柱面坐标和球面坐标:(x, y)yd322.2y a )2FzfaDFx,Fy,Fz,其中:(x, y)xd(x23222y a )2x r cos柱面坐标：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,其中：F (r, ,z) f (r cos , r sin , z)x r sin cos 球面坐标： y r sin sin ,dv rd r sind dr r2sin drd dz r cosf (x, y,z)dxdydz F(r,1重心：x x dv, y M转动惯量：Ix (y2 z2)曲线积分：2、2,)r sin drd d d d001_1y dv, z zMM22、，dv,1y (x z ) dv,(.)2，F (r, , )r sin dr0dv,其中 M x dv22Iz (x y ) dv第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）设f （x,y）在L上连续,L的参数方程为:, (t)），则:f(x,y)ds f (t),L(t), 2(t)2(t)dt特殊情况：y (t)第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为x ，则: y (t)(t) Q (t), (t) (t)dt(Pcos Qcos )ds 其中L和分别为P(x,y)dx Q(x,y)dy P (t), (t)L两类曲线积分之间的关系：Pdx Qdy LL上积分起止点处切向量 的方向角。Q PQ P格林公式：(一 一)dxdyPdx Qd册林公式：(一 一)dxdy ： Pdx Qdyd x yld x yl一一 Q P1当P y,Q x,即： 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydxx yd2l平面上曲线积分与路径无关的条件:一 Q P 、,且二一。江息奇点，如(0,0),应 x y1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：, Q P_ .在=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中： x y(x.y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y0 d (x0,y0)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y)、；1 z2(x,y) zy (x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；D xyP(x, y, z)dydz Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y, z)dzdx Qx, y(z,x),zdzd为取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR八八( )dvPdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcosxyz高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divR,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 zRcos )dsdiv 0,则为消失通量： A ndsAnds(P cosQ cosRcos)ds,因此，高斯公式又可写成：div AdvAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:RQPR(一 )dydz ( )dzdxyzzxQ ( xP) dxdy y-PdxQdy Rdz上式左端又可写成:空间曲线积分与路径无旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线常数项级数等比数列：1dydzdzdxdxdycoscoscos等差数列：1调和级数:1级数审敛法:关的条件:的环流量：PdxQdyRdz 1 A tds1 qn1 q 1)n21、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛设：l|mn-U，则1时，级数发散01时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limU,则1时，级数发散n UUn1时，不确定3、定义法：sn u1 u2un;limsn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4（或u1 u2u3,un0）的审敛法莱布尼兹定理： un un 1 一.，如果交错级数满足 n，那么级数收敛且其和s u1,其余项rn的绝对值rn un 1 lim un 0,n绝对收敛与条件收敛：u1 u2un,其中un为任意实数；（2）5 皿 u3un如果（2）收敛，则 肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。2收敛；n工Fnp p调和级数：1发散，而 （-收敛; nn1时发散1时收敛哥级数:数轴上都收敛，则必存a1x2 a2x求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:余项：Rnf(n1)( )(x (n 1)!X01时，收敛于1时,nanxXXX使R在lim nan 1an1 x发散,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时，R1an 1是(3)的系数,则0时,时，R 0f (x0)2f (x)f(x)(x x0) -(x x)2!(n).f(x0)n(x x) n!x0)n 1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn 00时即为麦克劳林公式:f(x) f(0) f(0)x Ff(n)(0) n xn!些函数展开成骞级数:(1 x)mm(m 1) 21 mxx2!m(m 1) (m n 1) n;:;xn!(1x1)sinx x5 x5!2n 1欧拉公式:ixe cosxi sinxf(t) A。其中,a0An sin( n n 1aAo，an1)nx(2n 1)!cosx或sin xAn sin n，bnix eix eixe2ix e2(an cosnxbn sin nx)n 1An cosn,正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx上的积分=0。傅立叶级数：t x。任意两个不同项的乘积在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期n 1其中132anbn152111T2-22-22460, anf(x)cosnxdxf (x)sinnxdx(n 0,1,2(n 1,2,311122 3242111T2T22234f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx周期为2l的周期函数的傅立叶级数:2（相力口）62一（相减）12n 1,2,3 f (x)bnsinnx是奇函数n 0,1,2 f (x) a0an cosn娓偶函数2f(x) 7, n x ,. n x(an cosbn sinan其中bnn 1lf (x) cosllf (x)sin -i),周期 2ln x .dxln x dxl(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相关概念:一阶微分方程：y f (x, y)或 P(x,y)dx Q(x,y)dy 0f(x)dx的形式，解法:齐次方程：一阶微分方程可以写成崇 f(x,y)(x, y),即写成y的函数，解法: x设u x,则dx u即得齐次方程通解。duxdx5du u dx(u)，dxdu(u)-分离变量，积分后将2代替u, ux可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dyg(y)dy f (x)dx 得：G(y) F (x) C称为隐式通解。一阶线性微分方程:1、阶线性微分方程:dydxP(x)yQ(x)当Q(x) 0时,为齐次方程,CeP(x)dx当Q(x) 0时，为非齐次方程,P(x)dx(Q(x)edxP(x)dxC)e2贝努力方程:dx P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)全微分方程：如果 P(x, y)dxQ(x, y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即:du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,其中： xu(x,y) C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：uP(x,y),一 Q(x,y)yd-y P(x)dy Q(x)y f(x)/f(x) dx2dxf (x)二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0,其中p, q为常数;求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0, 2、求出()式的两个根r1,r20寸为齐次0时为非齐次其中r2, r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y ,y的系数;3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解:r1, r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q 0)rixr2xy CieC2e两个相等实根(p2 4q 0)y (ci C2x)erix一对共轲复根(p2 4q 0)ri ,2ipJ,4q p222y e x (Ci cos x C2 sin x)二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x), p,q为常数f(x) exPm(x)型，为常数；f (x) exP(x)cos x Pn(x) sin x型