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习题8-11 .设有一平面薄片，在牙分平面上形成闭区域它在点(昌力处的面密度为(x,y),且(x,y)在，连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：m = J /(x, y)da.2 .试比较下列二重积分的大小:(1) 口。+)4。与口。+丁)/7,其中，由x轴、y轴及直线石户1围成; 。D(阿一丁时。与(ina+y)于八，其中是以月(1,0), 5(1,1),。(2, 0) oD为顶点的三角形闭区域.解：(1)在 D 内，OSK + ySl,故(x+y (x+ y)3, (x + y)2da jj (x + yfda .(2)在 D 内，1 x + y W 2,故0 ln(x + y) ln2(x+ y), In(. + yyi(j ln(x+ y)2da DD习题8-21.画出积分区域，并计算下列二重积分：(4)(5)(6)口3+，)八，其中。为矩形闭区域：|L|y|l： DJJ(3x +2y)d。，其中。是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: D0(/ +y2 -X )da，其中D是由直线,V=2y=xJ=2x所围成的闭区域； D卜2Vde.其中口是半圆形闭区域:小+炉在4/20： DJjx l”do,其中 D 为:0WxW4,l W)We： D口0db其中。是由曲线.a = l,x = ；, y = x所围成的闭区域.d y解：(1) jj (x + y)d(J = j tZx (x + y)dy = j 2xdx = 0. D(2) (3x + 2y)da = j dx (3x + 2y)dy = 3x(2 - x) + (2 - x)2 dx2_200 一丁D=(j-2x2 +2x + 40)； (2*+)? W2x：(3)lx2+/4：(4)0 WyW 11.解：(1) Jf(x,y)o=1可 /(rcoszsin 0)rdr. Db可: D/(rcos 夕,sin。)那二 f(x.y)da =dd(rcos8j,sind)八/二 D(4) JJ f(x,y)da = jj dO a，。/(rcos 6/sin 0)rdr. D2 .把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:(1) (V + -V2)X : 时：JV + 3便解:！应可丁，Y耳=萼. .,应 sln61 x . 3 nL=- T 上喀力(cos =(cos 0)户/(cos 0) 3。cos 83 J cos 夕。cos d1 z cos_5 0 , cos-5 6. 3(T 2(72 +1) :=,3 .在极坐标系下计算下列二重积分：(1) J/*其中D是圆形闭区域炉+炉1：D(2)“11(1+/+)，2)乩7,其中。是由圆周炉+2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区D 域：(3) jfarctanJa，其中。是由圆周 A/l与+.y2=1及直线y=0,尸所围成的在第一象 限内的闭区域；(4)口后二其中D由圆周始+),2=取小0)所困成D解：(1) | ex：+v： da = JT(10 er； rdr = 2 -= 7ie -1).(2) fln(l + a2 + y2 )da = (Jd6 ln(l + r1 )rdr = ?弓 ln( 1 + /)；一dr=d 可 arctan(tan 0) - rdr = 1 0d6 rdr =上 =.二件2-20。呼2坨2-1).(3) arctan L/c DX(4) J J/?，- -门/0j. D其中。：.F+vtL2,计算反常二重积分 勺* o( +.V )解：1 J：公e-f 办=e2x -e* )dx = - +-e所以如今=J吧（一匚匚+ /2“ -e-U） = l2由可:=2吗-寮，得,评警y=Jim 2W-圭）=仄复习题83）1.将二重积分（a,），）&，化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域。是:(Dixl Wl, |y| W2;(2)由直线产x及抛物线yMx所围成.解：!(x, _y)/y=j/y JQC (：时，/(x, y)dy = /vJXf (x, y)dx.2 交换下列两次积分的次序:/a，y)d.v;工dx/(x,y)dy +dx/a,y)dy .解： fd.vj，f(x,y)dr = J：(x,y)dy.ria . rv2(zv-.v*ea fJ L dL/a y)Qv=J*/尸 /(A-， y)dx-.(3) M： f(x.y)dy+ 广f(x9y)dy = (： d.y 广 j(x, y)dx.3 ,计算下列二重积分：(1) JJcM D: | x | dcr= dy 2v2 cfx =2(sjn y -y sin y)dy2 f-o土)=| 2sin yJv + |2 yJ(cosy) = 1 + (ycos y-siny)l 2 = 1 一 二,J。TTJo7TI 0 万(6) (4-x-y)da =(4可：(4-rcos0-rsin6)r(lr = |j 2/?2 -牛(cos0 + sin6)d0 DR2乃= 2R?e-*(sine-cos，)I =4ttR2 .304 .已知反常二重积分jpc-da收敛，求其值.其中。是由曲线产4炉与9炉在第一象 D限所围成的区域.解：设c是由曲线y = 4x y = 9x?和y = ( 0)在第一象限所围成则产-% 0 =网卜，加=；射;*= 一备 J?)=总各*所以 八七一do = lim Ae-：dcr = -q-.d*韦,5 .计算e-” dr .解：由第四节例2以及y = c-/是偶函数，可知匚e-，& = /7.6 .求由曲面z=0及z=4-1-)，2所围空间立体的体积.解：曲面z=0和z=4-x2y的交线为小+尸=4.因此，所困空间立体的体积为：Jj(4-x2- y2)cMy = ；dd J(4- r2)rdr = 24(8-学)=8万. D7已知曲线产山及过此曲线上点(e, 1)的切线)，=匕. e求由曲线):山，直线y二x和)=0所围成的平面图形。的面积：(2)求以平面图形。为底，以曲面z=e为顶的曲顶柱体的体积.解：(1) S = - ( Ing - (xIn x - x)|； = g -1 .(2)V = J：力J：-), = -ye +e, ) ： =(8)L交换积分次序：(1)户；/(x,y)dy ； (2) J： /(xC ； 匿八； f(x ,y )4y ：1 dx 口口/ (x, y )dy.解：(1) ：dxJ：J(x,y)dy = M，/(x,y)dx.fxL = J；可:J(“刃外 心对；fix, y)dy = dy_f(x, y)dx + dyLf(x, y)dx.: dxk八%y)力=力( /(-v, y)dx + J-f(x, y)dx .2 .计算积分工”|:丁ya、，.4+ y解：far r dy = j4 dO jor e 八。rdr = dO f(广 9 COS Odr 十黔人州表哈3计算积分。解：:公才可氏普哂=代/所焉sin%r- f短电叱力Jo JoJo + 厂=f7(tansinarctan二)48 =写 + f7arctan二”(cos。) J(cosd 2J( cosd令 cos8 =，,则原式=黑 + 1丁arctan -dt =黑 +arctan i Jr =黑 + “arctan 1 + ln(l + /)”2 Ji f 2 Ji t 2/ 2In 2Jl. /r 1137TIn 2y/2. /r 1.371=-7z- + -2t arctan，2 + In - - - - - = -7arctan J2 +In -. 222 24222 244 .设函数 yU)在区间o, 1 上连续，且 /(x )dx = A ,求(：dx / /(X)/ (y ly .解：设尸(x) = .f(x),则/(x)公=F一/(0) = A.f q(x)/(y )心=J/(.r)/F(x)cLx = F(1)J/(x)tZr-J F(x)d(F(x)=F()A 一: = F()A-1F(1) - F(O)F(1) + F(0) = F()A 一 1 AF(1) J AF(0) = ；AF -F(0) =与.5 .计算JJlyd*其中。是由直线)=0产1及双曲线小一y2=i所围成的闭区域. D解：ydcr = 2x2 ydx = ( ,(1 + y2 )1 + y2dyD= |(i + y2A/(i + y2) = |-|(l + rf ；=1(4点1).6 .计算dxj eZ/y .解：Of Jdy =W：e% = ：)，% = #； = *-1).7 .证明 D(Cr-v)-(.y)d.v-y)T/(y)d.v ,其中 n 为大于 1 的正整数.证：公0-3广2/。心=Ja J。Jy=f 占 a - y 严 l：J(yMy=Srf g一尸(9
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