2020年江苏省南通市高三数学考前40题 苏教版

2020年江苏省南通市高三数学考前40题一、选择题1已知奇函数的定义域为，且对任意正实数，恒有，则一定有（ D ）A BC D说明：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性的综合应用及三角函数的诱导公式与对数运算2若f(n)为n21(nN*）的各位数字之和，如1421197，19717，则f(14)17；记f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，则f2020(8) （ A ） A11 B8 C6 D5说明：本题考查周期数列及学生的阅读理解能力3在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即是不超过的最大整数例如：设函数，则函数的值域为 （ ）A B C D 4 已知数列是首项为，公差为的等差数列，若数列是等比数列，则其公比为（ ） 分析：本题考查三角函数的图象与性质、等差数列与等比数列的概念等基本知识答案： 提示：利用余弦曲线可得5一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以为圆心，为半径画弧，这样画到第圈，则所得螺旋线的总长度为A B C D 分析：第圈的长度分三段第一段以点为圆心，半径为；第二段以点为圆心，半径为；第三段以点为圆心，半径为，所以第圈的长度，所以 答案： 说明：培养学生的阅读能力6已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过的（ ）（）重心 （B）垂心 （C）内心 （D）外心解：因为故可设，则（所以，其中为边的中点，所以、三点共线，故点的轨迹经过的重心说明：考查向量知识、正弦定理、三角形知识7从颜色不同的5个球中任取4个球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的放法总数为（ ）A120 B90 C180 D360分析：这是一道分组分配的排列组合问题解：将4个球放入3个盒子中易产生错误：而不易考虑到捆绑法说明：学生往往先取一个球然后排列出现重复的错误8以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）A B C D解析：此问题可以分解成五个小问题： 由正方体的八个顶点可以组成个三角形； 正方体八个顶点中四点共面有12个平面； 在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有个； 从56个三角形中任取两个三角形共面的概率； 从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得故选A9设、是方程的两个不相等的实数根，那么过点和点 的直线与圆的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D随的值变化而变化分析：抓住原点到该直线AB的距离与半径1的大小略解：由韦达定理得直线的斜率直线的方程是，即，从而原点到该直线的距离是，故直线与圆相交，选A说明：考查三角公式、韦达定理、直线与圆的位置关系的综合10已知双曲线的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于PQ两点，交l于R点则 （ ） B C D的大小不确定解析：分别作，由相似三角形的性质，得，又由双曲线的定义，故FR平分故选B二、填空题11已知函数，直线与、的图像分别交于、 两点，则的最大值是分析：方法1 求f(x)g(x)的最大值 方法2 利用正弦函数与余弦函数的图象略解：说明：考查三角函数的图象与性质变题：已知函数，直线ym与、的图像分别交于、两点，则的最大值是12一个三位数称为“凹数”，如果该三位数同时满足ab且bc，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_分析：若从0，1，9这十个数字中任选三个，则最小的排在中间，其余两个在两边有2 种排法；若从0，1，9这十个数字中任选两个，小的排在中间，首尾数字相同有种排法，故共有2种不同的三位数解答：285说明：本题主要考查排列组合问题，考虑问题要全面，要有一定的分析问题、解决问题的能力13在正四面体的一个顶点处，有一只蚂蚁每一次都以的概率从一个顶点爬到另一个顶点那么它爬行了4次又回到起点的概率是 答案：说明：考查学生运用计数原理解决等可能事件的概率问题的能力14这是一个计算机程序操作说明：初始值为如果z7000，则执行语句，否则加语句继续进行打印程序终止 由语句打印出的数值为_，_解：15已知直线与圆有公共点，且横坐标、纵坐标均为整数，则这样的直线共有 解：因为圆上有整数点（1，7），（1，7），（5，5），（5，5），（7，1），（7，1），（1，7），（1，7），（5，5），（5，5），（7，1），（7，1），由于这12个点任三个点都不共线，所以直线过其中一点或两点即可，又直线不过原点，因而这样的直线共有说明：考查解析几何、整数点、排列组合等知识，注意三点共线特殊情况16已知圆C过三点O（0，0），A（3，0），B（0，4），则与圆C相切且与坐标轴上截距相等的切线方程是 答案：或 说明：本题考查直线与圆的位置关系，截距的概念及直线方程的分类17过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得（l1）当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 解：设点P的坐标为，则点H为，又设点Q为由知，消去参数，得Q的轨迹方程为，所以其离心率的取值范围是18从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，一类是取出的个球中白球个，则共有，即有等式：成立试根据上述思想化简下列式子： 分析（1）：从已知材料中知道；，从而推广到一般情形分析（2）：根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等类，故有种取法答案：说明：回归课本，注重课本公式性质的推导过程，提炼解题方法和数学思想19P是双曲线左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心横坐标为 答案： 说明：考查学生运用解析几何，平面几何的基本概念进行综合判断的能力20正方体中，、分别为、的中点，为上的一点，若，则 答案： 90 说明：考查学生的空间想象力，空间线线；线面；面面垂直关系及转换能力三、解答题21已知函数（）是偶函数（）求的值；（）证明：对任意实数，函数的图像与直线最多只有一个交点；（）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数 的取值范围分析：由于函数由不同类的两部分组成，无法进行运算，故可以考虑从函数的单调性方面进行等价转化略解：（）；（）只要证明函数在定义域上是单调函数即可；（）原问题等价于方程有且只有一个实数根令，则方程有且只有一个正根，故，不合题意；或：若，不合题意；若；一个正根与一个负根，即综上所述，实数的取值范围是说明：考查函数的奇偶性，单调性，函数与方程及等价转化的数学思想22已知函数，（）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；（）对满足（）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列解：（）当时，若，则在上单调递减，不符题意故，要使在上单调递增，必须满足 ， （）若，则无最大值，故，为二次函数要使有最大值，必须满足即，且此时，时，有最大值又取最小值时，依题意，有，则，且，得，此时或满足条件的实数对是（）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可如对，此时，故23已知：函数（I）证明：与的交点必在在直线yx上（II）是否存在一对反函数图象的交点不一定在直线yx上，若存在，请举例说明；若不存，请说明理由（III）研究（I）和（II），能否得出一般性的结论，并进行证明 分析：问题（I）易于解答，而问题（II）解答必须认真思考的性质，从性质的差异去寻求特例问题（III）的证明着眼于函数单调性的差异解答解答：（I）与其反函数的交点坐标为（1，1），与的交点必在在直线yx上（II）与其反函数的交点坐标为（），（1，0），（0，1），原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线yx上（III）研究（I）和（II）能得出：如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上； 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线yx上证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线yx对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有 若ab时，交点显然在直线上 若ab，且是增函数时，有，从而有ba，矛盾；若ba且是增函数时，有，从而有ab，矛盾 若ab，且是减函数，有，从而ab成立，此时交点不在直线yx上；同理，ba且是减函数时，交点也不在直线yx上 综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线上； 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线yx上说明：试题紧扣江苏新考纲，突显解决问题的探索性和研究性试题难度较大24已知，且三次方程有三个实根（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；（2）若均大于零，试证明：都大于零；（3）若，在处取得极值且，试求此方程三个根两两不等时的取值范围分析：（1）联想二次方程根与系数关系，写出三次方程的根与系数（2）利用（1）的结论进行证明；（3）三次函数的问题往往都转化为二次方程来研究解：（1）由已知，得，比较两边系数，得 （2）由，得三数中或全为正数或一正二负 若为一正二负，不妨设由，得，则又，这与矛盾，所以全为正数 （3）令，要有三个不等的实数根，则函数有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0由已知，得有两个不等的实根，由（1）（3），得又，将代入（1）（3），得 ，则，且在处取得极大值，在处取得极小值， 故要有三个不等的实数根，则必须得说明：本题考查学生类比 探究 函数与方程与图形的转化的能力25已知函数f(x)定义域为0，1，且同时满足（1）对于任意x0，1，且同时满足；（2）f(1)4；（3）若x10，x20，x1x21，则有 f(x1x2)f(x1)f(x2)3（）试求f(0)的值；（）试求函数f(x)的最大值；（）设数列an的前n项和为Sn，满足a11，Sn(an3)，nN* 求证：f(a1)f(a2)f(an) log3分析：（）令xy0赋值法和不等号的性质求f(0)的值；（）证明函数f(x)在0，1上的单调性求f(x)的最大值；（）先根据条件求数列an的通项公式，利用条件f(x1x2)f(x1)f(x2)3放大f()，再利用求和的方法将f(a1)f(a2)f(an)放大，证明不等式成立解答：（）令x1x20，则有f(0)2f(0)3，即f(0)3又对任意x0，1，总有f(x)3，所以f(0)3（）任取x1，x20，1，x1x2， f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)3 因为01时，anSnSn1(an3) （an13），数列an是以a11为首项，公比为的等比数列an1()n1， f(1)f3n1f(3n11) f()f(3n11)3 43n1f()3n3 f()3，即f(an)3 f(a1)f(a2)f(an)(3)(3)(3) 3n3n3n3（n） 又log3log33332n2(2n1)3(n)， 原不等式成立说明：这是一道涉及函数的单调性的应用、不等式的证明、数列的通项与求和的综合性题，难度较大，对思维能力要求较高，要求具有熟练掌握函数单调性的证明方法、数列求和和放缩法证明不等式等推理能力26已知函数(1)若，证明：(2)若证明：(3)对于任意的问以的值为边长的三条线段是否可构成三角形?并说明理由解：(1)， 同理， 故得 (2) 由(1)知，由以上个式子相加得(3)设以的值为边长的线段可以构成三角形，事实上因为，所以显然当时，即在上是增函数，在处取得最小值，在处取得最大值不妨设，则，而因此以的值为边长的三条线段可以构成三角形说明：本题是根据高等数学中凸函数的性质及高中教材中一道习题加工、改编而成的，综合考查函数、不等式、数列、三角形等知识点，要求学生熟练掌握不等式的基本证明方法、技巧，会利用求导的方法求函数的单调性、值域等，以及综合运用数学知识解决实际问题的能力27已知函数的定义域为I，导数满足02 且1，常数c1为方程的实数根，常数c2为方程的实数根（I）若对任意，存在，使等式 成立试问：方程有几个实数根；（II）求证：当时，总有成立；（III）对任意，若满足，求证： 分析：由，0可以判断函数具有单调性，猜测方程只有一个根；不等式的证明可用函数的单调性及放缩法来证解答：（I）假设方程有异于的实根m，即则有成立 因为，所以必有，但这与1矛盾，因此方程不存在异于c1的实数根方程只有一个实数根（II）令，函数为减函数又，当时，即成立（III）不妨设，为增函数，即又，函数为减函数，即，即，说明：本题考查导数的定义及应用，不等式的证明，考查学生的分析问题解决问题的能力，综合运用知识的能力28设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为（1）求证：；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（3）问是否存在实数（是与无关的常数），当时，恒有恒成立？若存在，试求出的最小值；若不存在，请说明理由分析：本题主要考查导数的几何意义，导数的应用，二次函数的图象和性质，不等式的解法与证明等基本知识；考查数形结合、等价转化等数学思想方法；考查学生应用知识分析问题解决问题的能力解：（1） 由题设，得 由代入得，得或 将代入中，得 由、得；（2）由（1）知，的判别式：方程有两个不等的实根，又，当或时，当时，函数的单调增区间是，由知函数在区间上单调递增，即的取值范围是；（3）由，即，或由题意，得，存在实数满足条件，即的最小值为说明：三次函数是导数应用的热点问题，考试大纲对导数和函数都有较高的要求，又有“在知识交汇点设计试题”作后盾，跟其它数学知识综合的试题应运而生，解答这类问题的关键在于灵活地运用函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想方法来分析29已知函数在区间0，1单调递增，在区间单调递减（1）求a的值；（2）若点在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线的对称点B也在函数f(x)的图象上；（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由解：（1）由函数在区间0，1）单调递增，在区间1，2）单调递减， （2）点，点A关于直线x1的对称点B也在函数f（x）的图象上（3）函数的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程个不等实根是其中一个根，有两个非零不等实根说明：以导数为载体，考查函数图象的对称性，及方程思想30已知在数列中，（1）若求并猜测；（2）若是等比数列，且是等差数列，求满足的条件解：（1）猜测（2）由，得当时，显然，是等比数列当时，因为只有时，才是等比数列由，得即，或由得当，显然是等差数列，当时，只有时，才是等差数列由，得即综上所述：说明：考查等差数列、等比数列两个基本数列知识，考查猜测、讨论等思想方法31（改编题，白蒲中学高之祥提供）有以下真命题：设，是公差为的等差数列中的任意个项，若（，、或），则有，特别地，当时，称为，的等差平均项（1）当，时，试写出与上述命题中的（1），（2）两式相对应的等式；（2）已知等差数列的通项公式为，试根据上述命题求，的等差平均项；（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题解：（1）若，则（2）， ，（3）有以下真命题：设，是公比为的等比数列中的任意个项，若（，、或，则有 ，特别地，当时，称为，的等比平均项32设数列满足（1）求证：是等差数列；（2）求证：（3）设函数，试比较与的大小解：（1）由，令，得，（）两式相减，得且时也成立所以，即是等差数列（2）设，而，又所以(3)所以为了比较与的大小，即要判断的符号设，则上式即为，设其导数为当时，是增函数，所以，且当时等号成立当时， 是减函数，所以纵上所述，当且仅当时等号成立说明：这是以组合数为背影，将数列 组合 数求和 不等式的证明 导数等知识有机结合起来的问题，要求学生具有对数学符号的感悟能力，数学表达式的变换能力，数学结构的联想能力以及变形转化 换元转化 分类讨论等数学方法和数学思想33已知（1，2sinx）（cos2x，cosx）设函数f（x）（1）若x，求f（x）的最大值、最小值并求出对应的x值；（2）求f（x）在区间的递减区间分析：（1）利用三角公式化简表达式，求最值时注意定义域（2）简单的复合函数的单调区间的求法解：（1）f（x）cosx2sinxcosxcosxsin2x2cos（2x）（2），说明：近两年江苏试题没有向量与三角的解答题，而其它省市多以这样的题目作为解答题的第1题，而三角公式、函数的图象及性质也是命题重点，因这样的目的出此题34已知一列非零向量满足：(x1，y1)，(xn，yn)（n2）（1）证明：|是等比数列；（2）求向量与的夹角（n2）（3）设(1，2)，将，中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，O为坐标原点，求Bn证明：（1）， 即 ，且（2）， ， 与的夹角为（3）由（2）可知相邻两向量夹角为，而，所以每相隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反，所以与向量共线的向量为，设OBn(tn，sn)则同理35在直角坐标平面上，O为原点，N为动点，6，过点M作MM1y轴于M1，过N作NN1x轴于点N1，记点T的轨迹为曲线C（）求曲线C的方程；（）已知直线L与双曲线C1：5x2y236的右支相交于P、Q两点（其中点P在第一象限），线段OP交轨迹C于A，若3，SPAQ26tanPAQ，求直线L的方程解：（）设T（x，y），点N（x1，y1），则N1（x1，0）又（x1，y1），M1（0，y1），（x1，0），（0，y1）于是（x1，y1），即（x，y）（x1，y1）代入6，得5x2y236所求曲线C的轨迹方程为5x2y236（II）设由及在第一象限得解得即 设则 由得，即 联立， ，解得或因点在双曲线C1的右支，故点的坐标为由得直线的方程为即36（自编题，西亭中学朱振新提供）设椭圆：的左、右焦点分别为，已知椭圆上的任意一点，满足，过作垂直于椭圆长轴的弦长为3（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，求的取值范围分析：本小题主要考查椭圆的方程、几何性质，平面向量的数量积的坐标运算，直线与圆锥曲线的位置关系等基本知识及推理能力和运算能力解：（1）设点，则，又，椭圆的方程为：（2）当过直线的斜率不存在时，点，则； 当过直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设由 得：综合以上情形，得：说明：本题是椭圆知识与平面向量相结合的综合问题，是考试大纲所强调考查的问题，应熟练掌握其解题技巧以平面向量的数量积运算为基础，充分利用椭圆的几何性质，利用待定系数法求椭圆方程，直线与圆锥曲线的位置关系等，是高考的热点问题，几乎每年必考37已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P，设与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当与的夹角为，且POF的面积为时，求椭圆C的方程；（2）当时，求的最大值 分析：（1)求椭圆方程即求、根据题中的两个数量关系：与的夹角为，POF的面积为，列出关于、的两个方程即可 （2）由P、F的坐标求出A点的坐标，代入椭圆方程可得与、c的关系，进而得出 与离心率e的关系 解：（1）的斜率为，的斜率为，由与的夹角为，得整理，得 由得由，得 由，解得， 椭圆C方程为：（2）由，及，得将A点坐标代入椭圆方程，得整理，得， 的最大值为，此时说明：本题考查综合运用解析几何知识解决问题的能力，重点考查在圆锥曲线中解决问题的基本方法，转化能力，以及字母运算的能力38已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，实轴长为2一条斜率为的直线l过右焦点F与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆与右准线交于M，N两点（1）若双曲线的离心率为，求圆的半径；（2）设AB的中点为H，若，求双曲线的方程分析：（1）求圆的半径可用直线上的两点间的距离公式（2）这一条件的应用若用坐标表示则较繁，可使用定义解答：（1）设所求方程为由已知2a2，a1，又e2，c2双曲线方程为右焦点F(2，0)，L；yx2，代入得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，r3(2)设双曲线方程为 L；yx2，代入并整理得设半径为R， ，则，代入得：3为所求说明：本题主要考查了圆锥曲线的有关性质，向量的定义及运算，分析问题的能力及数学计算能力39一个四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面(1)D展开图如图（1）所示（1）请画出四棱锥的示意图，问是否存在一条 侧棱与底面垂直？若存在，请给出证明；（2）若为四棱锥中最长的侧棱，点为的中点ASCBDE(2)求二面角的大小；求点到平面的距离 分析：本题主要考查空间线面位置关系，二面角、空间距离 的计算等基本知识，以及逻辑推理能力和空间想象能力（1）解：四棱锥的示意图如图（2），其中平面，证明：由侧面展开图可知： ，平面(2)解：在侧面展开图中最长的侧棱为，即过点作于点，取的中点连结，又，平面，平面，平面，平面平面，二面角的大小为 由，易得点到平面的距离为说明：平面图形与空间几何体的相互转化，有利于考查学生的空间想象能力，空间线面位置关系的判定，空间角和距离的计算是高考的重点和热点问题，本题的第（2）主要考查以证代算的解题方法空间距离的计算常依赖于线面的垂直或等体积法作转化，这是高考的常考题型40如图四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，AB2，PC与平面ABCD成45角，E、F分别为PA、PB的中点（1）求异面直线DE与AF所成角的大小；（2）设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使AM平面PBD，证明你的结论分析：（1）求异面直线所成角一般通过直线平移，或用空间向量（2）探究性问题考虑当AM平面PBD，M点特点和性质解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，F(1，0，)，D(0，2，0)，E(0，0，)；(1，0，)，(0，2，)设与的夹角为，则cos，DE与AF所成的角为arccos（2）PA平面ABCD，PABD 又ABCD是正方形，BDAC，BD平面PAC，BDAM 由题意可设M点坐标为(t，t，2(2t)，又P(0，0，2)，B(2，0，0)，(2，0，2)设AMPB， 0，即2t2(2t)0t，|，又|4，M在2这位置于，AM平面PBD法二：（1）连CF、EF取CD的中点G，连EG、AG，由题意EFAB，则EFDG，四边形EDGF为平行四边形，FGEDAFG即DE和AF所成的角(或其补角)又PC与底面所成角45，PAAC2，EDFG，AF，AGcosAFG，DE与AF所成的角为 arccos连AC交BD于O，ACBD，PABDBD平面PAC，BDBD欲使AM平面PDB，则只需AMPO即可在RtPAC中，(右图) 过C作CHPA交AM处长线于H，又，M在2这位置于，AM平面PBD说明：本题体现高考立体几何解答题考查的三个热点问题：一是用空间向理求线线角问题；二是线线、线面平行与垂直问题；三是探究性问题