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新课标理念下高中数学必修5第一章 解三角形 本章概述：本章是在学习三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理以及这两个定理在解斜三角形中的应用。教材地位：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的。正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三解形的重要工具。本章内容与三角形定性研究的结论相联系，与三角函数相联系，同时也体现了向量及其运算的应用。高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容。课标要求：1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。学法指导：1、重视数学思想方法的运用。解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用。2、加强新旧知识的联系。本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有着密切联系。同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。3、提高数学建模能力。利用解三角形解决相关的实际问题，根据题意，找出量与量之间的关系，作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。学科实践：本章知识在现实生活中有着广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题。因此，通过本章的学习，能提高学生解决关于测量和几何计算的实际问题的能力和数学建模能力。知识点1 正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦值之间的对应关系。2、正弦定理的证明： 教材中，用三角函数的定义给出了证明，下面给出向量法证明和平面几何法证明。（1）向量法证明ABC证明：如图1-1，当ABC为锐角三角形时，边A作单位向量垂直于，则与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，设图1-1，即，即 同理可得，即图1-2ABC当ABC为钝角三角形（如图1-2）或直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明。（2）平面几何法证明证明：如图1-3所示，设O为ABC外接圆圆心，且半径为R，连接BO并延长交于O于，连接，则ABC图1-3，即同理可证，故，即.3、正弦定理的变形正弦定理有如下变式，它们在解题中有着广泛的应用。（1）；（2）；（3）（其中R为ABC外接圆的半径）；（4）.知识点2 余弦定理 1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：2、余弦定理的证明：证法1(向量法)：如图2-1所示，在ABC中，AB，BC，CA的长分别为，ABC设那么，如图2-1 所以同理，在余弦定理中，令，这时，所以，由此可知余弦定理是勾股定理的推广。证法2(平几法)：如图2-2所示，在ABC中，设A为锐角，CD为AB边上的高，则，.ABCD在RtBCD中，如图2-2即，当A为直角或钝角时，同理，xA(O)y证法3(解析几何法)：如图2-3所示，以A为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，则可得A，C两点的坐标分别为，设点，由三角函数的定义，得，如图2-3即点B的坐标为，由两点间的距离公式，得，即3、余弦定理的变形形式（余弦定理的推论） 由余弦定理，得余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具。（1）在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以知三求一。（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积、外接圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式。在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛。易错疑难辨析易错点 利用正弦定理求三角形的内角时易丢解易错点解读在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。例1 在ABC中，求ABC的面积错解：由正弦定理，得，。分析：本题错误的原因是利用正弦定理求C时丢了一解。事实上，由，可得或，这两个结果都符合题意。正解：由正弦定理，得又ABAC 或当时，；当时，ABC的面积为易错点 易忽略隐含条件，从而导致错误易错点解读在解三角形中，要注意挖掘题中的隐含条件，否则范围将扩大或缩小，从而导致错误。例2 在ABC中，若C=3B，求的取值范围错解：因为，所以，所以分析：错解忽略了隐含条件中B的取值范围。因为C=3B，所以，即，所以是错误的。正解：因为，所以，所以因为，所以，故解题策略：凡是求最值、值域或取值范围的问题，都应注意题中是否含有隐含条件，以便加强对自变量取值范围即定义域的限制。易错点 忽略三角形中角的限制而导致出错易错点解读在解三角形问题时，应注意，且例1 在ABC中，C=3B，求的取值范围。错解：由正弦定理，得，分析：在上述解题过程中，得到后，忽略了三角形内角和为及隐含的A，B，C均为正角这一条件。正解：由正弦定理，得，即，故解题策略：由及C=3B得出B的取值范围，不可忽略。易错点 忽略三角形三边关系而导致出错易错点解读解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大小第三边，而使某些字母的范围变大。例2 设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围。错解：是三角形的三边，解得，是三边长的最大值，设其所对角为是钝角三角形的三边，即，解得的取值范围是分析：错解中求得的不是表示三角形三边的充要条件。如当时，此时就不能作为三角形的三边。正解：是三角形的三边，解得，此时最大要使表示三角形的三边，还需，解得设最长边所对的角为，则，解得的取值范围是解题策略：本题实质上是求能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边。本章知识网络图示解三角形 解三角形的常见类型及解法解析：在三角形的六个元素中，已知三个（除三个角外）元素才能求解，常见类型及其解法如下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角，如a,B,C正弦定理由，求A，由正弦定理求出b与c，有解时，只有一解两边和夹角，如a,b,C余弦定理正弦定理由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出较小边所对的角，再由，求出另一角，有解时，只有一解三边，如a,b,c余弦定理由余弦定理求出A，B，再利用，求出C，有解时，只有一解两边和其中一边的对角，如a,b,A正弦定理由正弦定理求出B，由，求出C，再利用正弦定理求出c，可有两解、一解或无解知识横纵联系（探究交流）知识点3 正、余弦定理往往与三角形面积定理综合分析考虑三角形面积的六种求法：ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c1、底高法：2、两边夹角法：3、两角夹边法：4、三边法(海伦公式):,其中表示半周长5、外接圆半径法：（其中R为ABC外接圆半径）6、内切圆半径法：(其中表示半周长，r为内切圆半径)方法平台：往往利用面积相等列出方程，解方程求出未知数。（等积法）ABC567例1 已知三角形ABC中（如图），三边长分别为5、6、7，求外接圆半径R与内切圆半径r。解析：由已知三边长得(半周长)，由外接圆半径法与内切圆半径法求面积得利用不同方法求面积得方程求出未知数例2 已知ABC中（如图），ABCD求AD的长解析：设，由得即该问题利用面积相等关系得到求解。“三回顾法”总结巩固一回顾是下课后利用3分钟左右的时间回顾当节课的知识点与方法点；二回顾是作业前回顾该科目的知识点与方法点；三回顾是晚上临睡前回顾当天各学科的知识点与方法点。一天三次回顾，巩固了当天的知识点与方法点，达到事半功倍的效果。一章节归纳回顾，一本书按目录概括回顾，把知识从薄到厚，从厚到薄，坚持回顾既增强了记忆力，又提高了归纳总结能力，念书轻松，效果好，终身受益。
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