桥梁工程II教学案2

.wd.桥梁工程II教案2第三节 拱桥计算一、 概述1、 拱桥计算主要内容（1） 成桥状态恒载和活载作用的强度、刚度、稳定性验算及必要的动力计算；（2） 施工阶段构造受力计算和验算2、 联合作用：荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力；（1） 联合作用与拱上建筑构造形式及施工程序有关；（2） 联合作用大小与拱上建筑和主拱圈相对刚度有关，通常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑联合作用较小；（3） 主拱圈不计联合作用的计算偏于安全，但拱上构造不安全；3、 活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱截面应力不均匀的现象。在板拱情况下常常不计荷载横向分布，认为主拱圈全宽均匀承担荷载。4、 计算方法：手算和程序计算。二、 拱轴线的选择与确定拱轴线的形状直接影响主拱截面内力大小与分布l 压力线：荷载作用下拱截面上弯矩为零全截面受压的截面形心连线；l 恒载压力线：恒载作用下截面弯矩为零的截面形心点连线；l 各种荷载压力线：各种荷载作用下截面弯矩为零的截面形心点连线；l 理想拱轴线：与各种荷载压力线重合的拱轴线；l 合理拱轴线：拱截面上受压应力均匀分布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；l 选择拱轴线的原则：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱轴线外形与施工简便等因素。（一） 圆弧线圆弧线拱轴线线形简单，全拱曲率一样，施工方便：f,l时，利用上述关系计算各种几何量。见拱桥上第151页表1和表2。（二） 抛物线 在均匀荷载作用下，拱的合理拱轴线的二次抛物线，适宜于恒载分布比较均匀的拱桥，拱轴线方程为 在一些大跨径拱桥中，也采用高次抛物线作为拱轴线，例如KRK大桥采用了三次抛物线。（三） 悬链线实腹式拱桥和空腹式拱桥恒载集度单位长度上的恒载的区别与变化。实腹式拱的恒载压力线的悬链线后面证明，空腹式拱桥恒载的变化不是连续的函数，如果要与压力线重合，则拱轴线非常复杂。 五点重合法：使拱轴线和压力线在拱脚、拱顶和1/4点重合来选择悬链线拱轴线的方法，这样计算方便。目前大中跨径的拱桥都普遍采用悬链线拱轴线形，计算说明，采用悬链线拱轴线对空腹式拱桥主拱受力是有利的。1、 拱轴方程的建立（1） 坐标系的建立：拱顶为坐标原点，y1向下为正；（2） 对主拱的受力分析：l 恒载集度：，l 拱顶轴力：，因拱顶l 对拱脚截面取矩： 1-2-12l 对任意截面取矩： 1-2-13（3） 恒载压力线 基本微分方程建立l 对1-2-13式两边求导得： 1-2-14l 为简化结果引入参数 ， 1-2-21（4） 基本微分方程的求解：l 二阶非齐次常系数微分方程的通解为：l 微分方程的特解为：l 边界条件：时，l 悬链线方程为： 1-2-22当拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于，各种不同所对应的拱轴坐标可由拱桥上第575页附录III表(III)-1查出；（5） 三个特殊关系：l 当时，；l 当时，l 当，由1-2-22式得： 1-2-242、 拱轴系数确实定悬链线拱轴方程的主要参数是拱轴系数（1） 实腹式拱拱轴系数确实定；分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；分别为拱顶填料厚度、主拱圈厚度、拱脚拱腹填料厚度及拱脚处拱轴线水平倾角。确定拱轴系数的步骤：l 假定ml 从拱桥上第1000页附录III表(III)-20查l 由1-2-25式计算新的ml 假设计算的m和假定m相差较远，则再次计算m值，直到前后两次计算接近为止。以上过程可以编制小程序计算。（2） 空腹式拱拱轴系数确实定l 拱轴线变化：空腹式拱中桥跨构造恒载分为两局部：分布恒载和集中恒载。恒载压力线不是悬链线，也不是一条光滑曲线。l 五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5点拱顶、拱脚和1/4点与其三铰拱恒载压力线重合。如图1-2-135b。l 五点弯矩为零的条件：#1、拱顶弯矩为零条件：，只有轴力#2、拱脚弯矩为零：#3、1/4点弯矩为零：#4、 1-2-27主拱圈恒载的可由拱桥上第988页附录III表(III)-19查得 l 拱轴系数确实定步骤：#1、假定拱轴系数m#2、布置拱上建筑，求出#3、利用1-2-24和1-2-27联立解出m为 1-2-28#4、假设计算m与假定m不符，则以计算m作为假定值m重新计算，直到两者接近为止。l 三铰拱拱轴线与恒载压力线的偏离值 以上确定m方法只保证全拱有5点与恒载压力线吻合，其余各点均存在偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力，对于三铰拱各截面偏离弯矩值可用拱轴线与压力线在该截面的偏离值表示，即l 空腹式无铰拱的拱轴线与压力线的偏离对于无铰拱，偏离弯矩的大小不能用表示，而应以该偏离弯矩作为荷载计算无铰拱的偏离弯矩；由构造力学知，荷载作用在 基本构造上引起弹性中心的赘余力为： 1-2-29 1-2-30其中，上述1-2-29其值较小，1-2-30其值恒为正压力,任意截面之偏离弯矩为： 1-2-31拱顶和拱脚弯矩为： 1-2-32是弹性中心至拱顶的距离。空腹式无铰拱采用五点重合法确定拱轴线，是与相应的三铰拱压力线在五点重合，而与无铰拱压力线实际上并不存在五点重合关系1-2-32。但偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反，因而，偏离弯矩对拱脚及拱顶是有利的。 3拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系l 矢跨比大，拱轴系数相应取大；l 空腹拱的拱轴系数比实腹拱的小 ；l 对于无支架施工的拱桥，裸拱,为了改善裸拱受力状态，设计时宜选较小的拱轴系数；l 矢跨比不变，高填土拱桥选小，低填土拱桥选较大；3、 拱轴线的水平倾角对拱轴线方程求导得：，拱轴线各点水平倾角只与f/l和m有关，该值可从拱桥上第577页表III-2查得。4、 悬链线无铰拱的弹性中心在计算无铰拱内力时，为了简化计算常利用弹性中心的特点；无铰拱 基本构造取法有两种：悬臂曲梁和简支曲梁。可从拱桥上第579页表III-3查得。（四） 拟合拱轴线1、 必要性和可行性前面确定拱轴线的特点是采用五点重合法，即利用拱轴线的五点来逼近压力线，但随着桥梁跨度的增大，五点显得越来越少，导致一些截面偏离弯矩较大，有必要采取多点重合法来逼近压力线。随着现代构造分析理论开展和计算技术在桥梁设计中的广泛应用，在拱桥设计中采用通过优化拟合而成的某一曲线作为拱轴线称为可能，目前常用的拟合方法有：最小二乘法，样条函数逼近法等。2、 确定函数逼近准则压力线与拱轴线任意对应点的残差均到达最小 1-2-393、 确定约束条件满足1-2-39的条件的曲线不一定是我们希望的拱轴线，因此，必须要有约束条件使之成为较好的拱轴线。这些条件包括坐标原点通过拱顶、拱脚竖坐标为矢高，凸曲线的条件等 。4、 建立拟合数学模型将逼近准则与约束条件相结合：拱轴线的拟合可以逐次逼近实现。三、 拱桥内力计算（一） 手算法计算拱桥内力手算和电算的区别1、 等截面悬链线拱恒载内力计算（1） 恒载内力、弹性压缩引起的内力、拱轴线偏离引起的内力主要针对手算法（2） 不考虑弹性压缩的恒载内力无矩法 实腹拱认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈中只有轴力而无弯矩，按纯压拱计算：恒载水平推力： 1-2-42拱脚竖向反力为半拱恒载重力： 1-2-43拱圈各截面轴力：式中：可从拱桥上第580页表III-4查得。 空腹拱：空腹式悬链线无铰拱的拱轴线与压力线均有偏离，计算时分为两局部相叠加：无偏离恒载内力+偏离影响的内力=不考虑弹性压缩的恒载内力。无偏离时：半拱恒载重力偏离弯矩：对中小跨径空腹拱桥不考虑该值偏于安全；对于大跨径空腹拱桥对拱顶、拱脚有利，对1/8、3/8截面有不利，尤其3/8截面往往成为正弯矩控制截面。偏离弯矩为 ： 1-2-45偏离附加内力大小与拱上恒载布置有关，一般腹拱跨大影响大。（3） 弹性压缩引起的恒载内力在恒载轴力作用下，拱圈弹性压缩表现为拱轴长度缩短，这必然会引起相应的附加内力。拱顶变形协调条件： 1-2-46 1-2-51式中： 上述公式中：l ，可从拱桥上第581页表III-5查得；l ，可从拱桥上第607页表III-8和第609页表III-10查得；l 和，可从拱桥上第608页表III-9和第610页表III-11查得；由于的作用在拱内产生的内力为： 1-2-55可见考虑弹性压缩，在拱顶产生正弯矩，压力线上移；拱脚产生负弯矩，压力线下移。即实际压力线不与拱轴线重合。85桥规规定，对于跨径较小 ，矢跨比较大的拱桥可不计弹性压缩影响：；。（4） 恒载作用下拱圈的总内力 不考虑弹性压缩的内力+弹性压缩产生内力 1-2-56 不考虑弹性压缩内力 +弹性压缩内力+拱轴偏离内力 1-2-57式中：，即按1-2-30和1-2-31计算。（5） 用影响线加载法计算恒载内力为了简化计算，可采用影响线加载法计算恒载内力，通过影响线和恒载布置形式可制成计算系数表格，供查用，见拱桥上第830973页表III-17117144。该方法计算分两步：%1、 在不计弹性压缩影响线上计算恒载内力得到不计弹性压缩内力；将拱桥恒载分解为三大局部：空腹拱段的集中力，实腹段分布力和主拱圈。%2、在不计弹性压缩内力基础上计算弹压内力；然后将这两局部叠加即为恒载内力。不计弹性压缩时的恒载计算如下：路面荷载：填料荷载：拱圈重力：空腹拱集中力：式中：是路面、填料和拱圈材料的容重；B,A是拱圈宽度和拱圈截面积；是两半拱相应立柱处内力影响线坐标之和。表中实腹段填料是按桥面纵坡为零计算的，假设桥面设置竖曲线，则实腹段填料厚度将发生变化，表中数值需要修正。2、 等截面悬链线拱活载内力计算（1） 荷载横向分布系数拱桥属于空间构造，在活载作用下受力比较复杂，实际中常常通过荷载横向分布系数形式将空间构造简化为平面构造计算。l 板拱桥的荷载横向分布系数：均匀分布或其中：为车列数，为拱圈宽度，为拱箱个数。l 肋拱桥荷载横向分布系数：偏安全地用杠杆法计算（2） 内力影响线 赘余力影响线求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为 基本构造，赘余力为，根据弹性中心特点，所有副变位均为零。 1-2-60式中分子是载变位，分母是常变位值。假设不考虑轴向力、剪力及曲率对变位的影响，则有： 式中：查拱桥上第607页III-8、第581页III-5、第582页表III-6；是当时在 基本构造任意截面上产生的弯矩；是当时在 基本构造任意截面上产生的弯矩；是当时在 基本构造任意截面上产生的弯矩；为单位荷载作用在 基本构造上，任意截面产生的弯矩；显然为拱轴线弧长。为了计算赘余力，一般将拱圈沿跨径方向分成48等分，当单位荷载从左拱脚移动到右拱脚时，可计算出在各分点上的赘余力数值即影响线竖坐标值，由此即得的影响线，如图1-2-146所示。 内力影响线求出赘余力影响线后，拱中任意截面内力影响线均可利用静力平衡条件建立计算公式借助叠加法求得。l 水平推力影响线：，各点影响线竖坐标可查拱桥上第611页III-12。l 拱脚竖向反力影响线：l 任意截面的弯矩影响线：如图1-2-47所示，拱中各截面不考虑弹性压缩的弯矩影响线坐标可查拱桥上第623页III-13。l 一般不用N、Q的影响线求内力，而是先求出水平推力和拱脚竖向反力，然后计算轴力和弯矩；轴力：拱顶截面：；拱脚截面：其它截面：剪力：拱顶截面和其它截面：数值很小，一般不计算；拱脚截面：l 拱的内力影响线也可直接采用电算求得。（3） 内力计算拱是偏心受压构件，最大应力由弯矩M和轴力N共同决定,但布载往往不能使M、N同时到达最大，一般按最大最小弯矩布载，求出最大弯矩及其相应轴力及剪力等。利用影响线求内力有直接布载法和等代荷载法l 直接布载法是以荷载值直接乘以相应位置影响线竖坐标值求得。l 等代荷载法 是以等代荷载值车辆等乘以相应影响线面积求得。常用活载的等代荷载可从公路桥涵设计手册 基本资料第58页表1-23查得；影响线面积可从公路桥涵设计手册拱桥上第732页表(III)-14查得；例题：等截面悬链线无铰拱，桥面宽度为净-7米，计算汽车20级荷载作用下拱脚最大正、负弯矩及相应轴力。解：￥1、拱脚最大正弯矩及相应轴力 ￥1根据查拱桥上第1010页的拱脚水平倾角的正弦和余弦：￥2根据，拱脚最大M及汽车-20查 基本资料第74页的等代荷载：￥3根据查拱桥上第774页的影响线面积：￥4拱脚最大弯矩：=￥2、拱脚最大负弯矩及相应轴力￥1根据，拱脚最大M及汽车-20查 基本资料第79页的等代荷载：￥2根据查拱桥上第774页的影响线面积：￥3拱脚最大弯矩：=l 活载弹性压缩计算活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算类似，也在弹性中心产生赘余力，经计算 1-2-70因此，活载弹性压缩引起的内力为： 1-2-73考虑弹性压缩后总的活载推力为将不考虑弹性压缩的活载内力与活载弹性压缩产生的内力叠加即得到活载作用的总内力。l 常用电算求出构造内力影响线并用直接布载法求出的内力，已经考虑了弹性压缩影响，所求内力为最终内力。3、 等截面悬链线拱其它内力计算在超静定拱桥构造中，温度变化、混凝土收缩及拱脚变位都会引起附加内力。我国许多地区温度变化幅度大，温变不容无视，尤其现浇砼拱的收缩可使拱桥开裂；在软基上建造拱桥，墩台变位影响比较突出，拱脚水平位移影响更为严重，根据观测资料，两拱脚相对水平位移时，拱的承载力会大大降低，甚至破坏。 （1） 温度变化产生的内力假设大气温度比合拢温度高，会膨胀，比合拢温度低则会收缩，总之，温度变化都会引起弹性中心内力：拱内内力为： 例题：某钢筋混凝土拱桥，计算跨径l=90m，计算矢高f=18m，拱轴系数=2.24，合拢温度为20，现温度为10，试计算由此温度差在拱顶和拱脚截面产生的附加内力。公式中可以用11,22,33表示，弹性中心YS=0.32f。解：根据公式：拱顶附加内力：拱脚附加内力：（2） 混凝土收缩引起的内力混凝土在凝结过程中收缩变形，其作用与温度下降相似。因此，将混凝土收缩影响折算为温度的额外降低，桥规规定：l 整体浇筑的砼构造收缩影响，一般地区相当于降温20度，枯燥地区30度；钢筋砼相当于降低1520度。l 分段浇筑的砼或钢筋砼构造，相当于降低1015度；l 装配式钢筋砼构造 相当于降低510度。计算拱圈温度变化和混凝土收缩影响时，混凝土徐变的影响可根据实际资料考虑，如缺乏资料时，计算内力可乘以以下系数：l 温度变化影响力：0.7l 混凝土收缩影响力：0.45l 跨径小于25米的砖石及砼预制块砌体拱桥，矢跨比大于1/5，可不计温度变化影响力。（3） 拱脚变位引起的内力在软土地基上修建的拱桥以及桥墩较柔的多孔拱桥，拱脚变位的难以防止的，拱脚变位包括：拱脚水平位移、垂直位移和转角，每一种变位都会在拱中引起内力。用力法求解如下：l 拱脚水平位移引起的内力，为左右拱脚水平位移，右移为正，左移为负。 两拱脚发生相对水平位移在弹性中心产生的赘余力：两拱脚相对靠拢为负为正。可查拱桥上第581页表III-5。l 拱脚垂直位移引起的内力，为左右拱脚垂直位移，下移为正，上移为负。 两拱脚发生相对垂直位移在弹性中心产生的赘余力：等截面悬链线的可查拱桥上第582页表III-6；l 拱脚相对转角引起的内力图中拱脚B发生转角顺时针为正之后，在弹性中心除产生一样转角外，还引起相对水平位移和相对垂直位移，因此，在弹性中心会产生三个赘余力： 1-2-80 其中，查拱桥上第607页表III-8；可查拱桥上第581页表III-5。拱脚相对转角变位引起各截面的内力为l 水的浮力引起的内力计算当拱圈局部被水淹没时，在设计中应考虑浮力的作用，假设水位变化 较小，应作为永久荷载考虑，否则作为其它可变荷载考虑；不计弹压时，浮力产生的弯矩和轴力分别为：是弯矩及轴力系数，可查拱桥上第830页表III-17；为拱圈外轮廓面积；为水容重；是拱圈计算跨径。4、 内力调整悬链线无铰拱在最不利荷载组合时，常常出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况，为了减小它们，可从设计、施工方面采取措施调整拱圈内力。（1） 假载法调整内力所谓假载法调整内力，就是在计算跨径、计算矢高和拱圈厚度保持不变的情况下，通过改变拱轴系数的数值来改变拱轴线形状，m调整幅度一般为半级或一级。l 实腹拱的内力调整调整前：调整后：是虚构的，实际上并不存在，仅在计算过程中加以考虑，所以称为假载。假载值可根据求得l 空腹拱的内力调整空腹拱拱轴线的变化是通过改变1/4截面处的纵坐标实现的； 1-2-82当时，为负，反之为正。构造重力和假载共同作用下不计弹压的水平推力：计入弹压后的水平推力：然后加上或减去假载作用的内力包括弹压即得调整拱轴系数后拱圈截面内力。应当注意：用假载法调整拱轴线不能同时改善拱顶、拱脚两个控制截面的内力；同时其它截面内力也产生影响。（2） 临时铰调整内力l 施工期设置铰形成三铰拱，拱上建筑完成后形成无铰拱；l 布置偏心临时铰，改善拱顶拱脚弯矩；（3） 改变拱轴线调整内力用临时铰调整内力，实质上是人为改变压力线，使拱顶拱脚产生有利弯矩；也可以有意识改变拱轴线，使拱轴线于恒载压力线造成有利偏离，到达拱顶拱脚产生有利弯矩的目的； 1-2-86通过适当调整曲线竖标，使按1-2-86式计算的与弹压等所产生的水平力大小相等，方向相反，即可抵消弹性压缩及混凝土收缩在拱顶拱脚产生的弯矩值。5、 考虑几何非线性的拱桥计算简介l 在线弹性条件下，一般拱桥内力与变形计算结果和实际不会产生太大误差，随着拱桥跨度增大，这种由于非线性引起的误差会增大；l 非线性考虑有几何非线性和材料非线性，随着拱桥跨度增大，刚度变小，几何非线性特征越趋明显；（1） 考虑轴向力影响的拱平衡方程（2） 挠度理论控制方程（3） 约束方程（二） 有限元法计算简介1、 有限元法在拱桥计算中的应用（1） 有限元方法是为能够求解弹性力学的偏微分方程组15个方程：3个平衡微分方程，6个几何方程和6个物理方程而开展的一种数值方法，随着计算机的开展而得到迅速进步；（2） 用有限元方法计算三维空间的桥梁构造，可以实现多种非线性影响的计算，例如，几何非线性、材料非线性、动力问题及稳定问题等；（3） 目前通用的有限元软件较多，如Super SAP, NASTRAN,ANSYS,ADINA,IDEAS等，专用于桥梁计算的软件也不少，例如，GQJS,BSAS,BRCAD,QLTCAD等2、 数据准备及计算分析计算机只有通过数据才能认识桥梁构造，如果输入数据有误，则计算结果就不对。数据准备包括：节点信息节点编号和节点坐标、单元信息单元编号及单元与节点关系、荷载信息位置、类型及大小、材料信息、截面特性信息、边界条件信息等；检查数据：显示图形计算结果及分析：判断各种工况计算结果及其总体计算结果；（三） 拱在横向水平力及偏心荷载作用下的计算横向水平力包括：风荷载、地震力 、活载离心力等，在这些横向力作用下产生平面外的弯曲和扭转，偏心垂直荷载也引起拱的扭曲。在大跨径拱桥中，这些因素对内力的影响可能很大，必须考虑计算。1、 横向水平力引起的内力（1） 在桥梁对称、荷载对称条件下，水平力作用的赘余力只有弯矩，求出后，即可计算任意截面的弯矩、扭矩及横向剪力；