（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）学案 新人教A版必修2学习目标1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是1,1对于正弦函数ysin x，xR，有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.对于余弦函数ycos x，xR，有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.知识点二正弦、余弦函数的单调性思考1观察正弦函数ysin x，x的图象正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1增大到1；当x时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x(kZ)时，正弦函数ysin x是增函数，函数值由1增大到1；当x(kZ)时，正弦函数ysin x是减函数，函数值由1减小到1.思考2观察余弦函数ycos x，x，的图象余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.思考3正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 ysin x的增区间为，kZ，减区间为，kZ.ycos x的增区间为2k，2k，kZ，减区间为2k，2k，kZ.梳理解析式ysin xycos x图象值域1,11,1单调性在，kZ上递增，在，kZ上递减在2k，2k，kZ上递增，在2k，2k，kZ上递减最值当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin1当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin11正弦函数在定义域上是单调函数()提示正弦函数不是定义域上的单调函数2正弦函数在第一象限是增函数()提示正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如sin .3存在实数x，使得cos x.()提示余弦函数最大值为1.4余弦函数ycos x在0，上是减函数()提示由余弦函数的单调性可知正确类型一求正弦、余弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kz2k(kZ)2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，函数y2sin的单调递增区间为(kZ)反思与感悟用整体替换法求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间求单调区间时，需将最终结果写成区间形式跟踪训练1求函数f(x)2cos的单调递增区间考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断解令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.类型二正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 196与cos 156；(2)cos与cos.考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用解(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66.0166690，且ysin x在0，90上是增函数，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(2)coscos coscos ，coscos coscos .0，且ycos x在0，上是减函数，cos cos ，即cos”连接)考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案cos 1cos 2cos 3解析由于0123cos 2cos 3.命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知是正数，函数f(x)2sin x在区间上是增函数，求的取值范围考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用解由2kx2k(kZ)，0，得x，kZ，f(x)的单调递增区间是，kZ.根据题意，得(kZ)，从而有解得00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案A解析取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.类型三正弦、余弦函数的值域或最值例4求函数f(x)2sin2x2sin x，x的值域考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解令tsin x，因为x，所以t，则f(x)可化为y2t22t221，t，所以当t时，ymin1，当t1时，ymax，故f(x)的值域是.反思与感悟一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如ysin(x)的三角函数，令tx，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出ysin t的最值(值域)(2)形如yasin2xbsin xc(a0)的三角函数，可先设tsin x，将函数yasin2xbsin xc(a0)化为关于t的二次函数yat2btc(a0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)(3)对于形如yasin x(或yacos x)的函数的最值还要注意对a的讨论跟踪训练4已知函数f(x)2asin xb的定义域为，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值解x，sin x1.若a0，不满足题意若a0，则解得若a0，则解得故a126，b2312或a126，b1912.1函数ycos x1的最小值是()A0 B1 C2 D1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点余弦函数的最大值与最小值答案C解析cos x1,1，所以ycos x1的最小值为2.2函数ysin 2x的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案B解析由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，ysin 2x的单调递减区间是(kZ)3下列不等式中成立的是()Asinsin Bsin 3sin 2Csin sin Dsin 2cos 1考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案D解析sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.故选D.4函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案(，0解析因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、选择题1当x时，函数f(x)2sin有()A最大值1，最小值1B最大值1，最小值C最大值2，最小值2D最大值2，最小值1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案D解析因为x，所以x，所以sin1，所以1f(x)2.2下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案A3下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案C解析sin 168sin(18012)sin 12，cos 10sin(9010)sin 80.由正弦函数的单调性，得sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.4(2017九江高一检测)y的最小值是()A2 B2 C1 D1考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案B解析由y2，当sin x1时，y取得最小值2.5(2017全国)函数f(x)sincos的最大值为()A. B1 C. D.考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案A解析，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选A.6函数ysin x的定义域为a，b，值域为，则ba的最大值与最小值之和等于()A. B. C2 D4考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案C解析作出ysin x的一个简图，如图所示，函数的值域为，且sin sin ，sin 1，定义域a，b中，ba的最小值为，定义域a，b中，ba的最大值为2，故可得，最大值与最小值之和为2.7若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的值可为()A. B.C2 D3考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案A解析由题意知，即T，.二、填空题8sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为_考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案sin 3sin 1sin 2解析123，sin(2)sin 2，sin(3)sin 3.ysin x在上递增，且0312，sin(3)sin 1sin(2)，即sin 3sin 1sin 2.9函数y2sin的值域是_考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案0,2解析x，02x，0sin1，y0,210(2017绍兴柯桥区期末)函数ycos的单调递增区间为_考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的判断答案(kZ)11若f(x)2sin x(01)在区间上的最大值是，则_.考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案解析x，即0x，且01，0x0且单调递减的区间2k2k，kZ，整理得4kxf(cos ) Bf(sin )f(sin )Cf(sin )f(cos ) Df(sin )，0，sin sin，即1sin cos 0，1sin cos f(cos )，f(sin )f(cos )，f(sin )0，f(x)maxab，f(x)minab2.由得