数学冲刺讲义全部

高 等 数 学-刘德荫1.微积分中几个重要概念考纲要求理解函数、极限、连续、可导、可微、可积等几个重要概念.一、 函数设D是维空间中一个点集. 惟一. 或 当时,称为一元函数,当时,称为多元函数.二、 函数的极限设 使当的一切点恒有则称是当时的极限.记作 注：极限定义的要点，自变量的变化方式与路径无关,与趋向点处函数的取值无关。若 则称函数在点连续.三、导数与偏导数一元函数存在两种都要会的导数表示曲线在处切线的斜率.切线方程二元函数存在存在四、微分与全微分写法1.线性改变部分2.3.纵坐标的改变量一元函数：二元函数： 五、积分 四个过程 三个两（有界，任意）设是中有界闭区域上的有界函数.（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限若极限存在且与的分法及点的取法无关，则称I是f在“积分域”上的积分，并称f在上可积，其特例是：1定积分2曲线积分 3二重积分是平面区域4曲面积分是曲面块5三重积分是空间区域一元函数 可导可微连续有定义有极限可积多元函数有定义有极限连续可微方向导数存在偏导数存在可积偏导数连续例题与练习题1.1设其中是有界函数. 则 ( D )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导1.2设连续，则a =.1.3设证明不存在.1.4求1.5证明在(0, 0)点偏导数存在，但极限不存在.1.6证明在(0, 0)点连续，偏导数存在，但不可微.1.7二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（）（A）（B）（C）（D）例题与练习题答案或提示1.1 （D）1.221.31.41.5利用偏导数定义1.6利用极限定义和偏导数定义1.7（C）2.极限的运算正确求出各种极限，是考试的重点和热点，判断函数是否连续的实质也是极限，求极限的常用的方法有：一、 利用极限的四则运算法则；二、 利用极限存在的两个准则；三、 利用两个重要极限；四、 利用洛必达法则；五、 利用无穷小量代换及泰勒公式；六、 利用导数和定积分定义等.例题与练习题2.1 设试证数列极限存在，并求此极限.2.2 设 求.2.3 求2.4 求2.5 求2.6 求2.7 求2.8 求2.9 求2.10 当时与等价的无穷小量是（）（A）（B）（C）（D）2.11 求记此极限为，求的间断点，并指出其类型.2.12 若，b=.2.13 曲线渐近线的条数为 ( )（A）0（B）1（C）2（D）32.14 已知内可导，且求C的值.例题与练习题答案或提示2.1 利用“单调有界数列必有极限准则”来证：2.2 利用“单调有界数列必有极限准则”证明2.3 利用夹逼准则来证，极限值为2.42.52.6 12.72.8 利用定积分定义，极限值为2.9 12.10 （B）2.11 第一类可去型间断点 第二类无穷型间断点.2.122.13 （D）2.143.微分法微分法是微积分中最重要的一部分内容，也是考试的重点与热点，考试的题型有：一、会利用导数的定义讨论分段函数在分界点的可导性.二、求复合函数，隐函数和由参数方程确定的函数的导数或微分（包括高阶导数）.三、求二元、三元函数的偏导数，全微分.四、求复合函数，隐函数的一阶、二阶偏导数.五、求二元、三元函数的方向导数和梯度.（数学一）例题与练习题3.1已知.3.2设为连续函数.3.3设.3.4设方程确定y为x的函数，则.3.5设函数由参数方程所确定，则.3.6设.3.7设.3.8设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定3.9设由方程组.3.10设具有二阶连续偏导数，且满足 又 求 .3.11已知 确定 其中均有连续偏导数，求证.3.12设求例题与练习题答案或提示3.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.11令 利用隐函数求导法则来证明3.124.中值定理本节中值定理包含有下列定理：在闭区间上连续函数有介值定理和零点定理，微分中值定理有罗尔定理，拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理以及定积分中值定理，考生要记住定理的条件和结论，并能应用这些定理来证明有关命题.常见题目类型有：一、 对于连续函数，证明存在使.二、 证明有函数的差值（或差值比）出现的等式或不等式.三、 证明存在两个中值使某等式成立.四、 证明的问题是利用高阶导数的性质推出函数的某性质.例题与练习题4.1 设函数在0，1上连续，在（0，1）内可导，且 试证：（1）存在 （2）对任意实数，存在（0，）使f=1.4.2 设上连续，在内可导，且 试证：存在使 4.3 设上连续，内可导，且，试证：存在4.4 设在上连续，在（0，1）内可导，且，试证：存在，使4.5 设在上连续，在（0，1）内可导，且时，试证：对任意正整数k，存在，使4.6 设，上连续，在（a, b）内可导，证明在内至少存在一点，使4.7 设上连续，在内可导，且，试证：存在.4.8 设函数上连续，在内可导，试证：存在4.9 设内有是（a, b）内相异的三点，求证4.10 设上连续，在（0，1）内可导，且满足，证明：至少存在一点，使4.11 设函数在上连续，在内具有二阶导数，且存在相等的最大值，证明：存在，使得.例题与练习题答案或提示4.1（1）令用零点定理（2）令用罗尔定理4.2令用罗尔定理4.3令，其中用罗尔定理4.4令用罗尔定理4.5令用罗尔定理4.6令用罗尔定理4.7令在a, b上用拉格朗日定理.4.8令在a, b 上用柯西中值定理.4.9令将处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可得结论.4.10先用积分中值定理，后令上用罗尔定理.4.11令 由零点定理知在分别用罗尔定理，得上用罗尔定理可证5.导数的应用利用导数研究函数的性态，求极值和最值是考纲中要求考生掌握的内容，也是考试的热点.常见的题目类型有：一、 证明某函数在某区间内有几个零点；二、 给出导函数的图形，要求判断函数的某些性态；三、 给出函数的图形来判断导函数的图形；四、 求函数的极值、拐点、图形的渐近线；五、 利用单调性（或拉格朗日中值定理或最值）证明不等式；六、 设由某含有参变量a的曲线和其他曲线所围成的区域D；1、D的面积为S，求当a为何值时S达到最大（或最小）2、D绕x（或y）轴旋转所成旋转体的体积为V，求当a为何值时，V达到最大（或最小）.七、 二元函数的极值、最值问题.例题与练习题5.1设，则（）（A）的极值点，但（0，0）不是曲线的拐点.（B）的极值点，但（0，0）是曲线的拐点.（C）的极值点，且（0，0）是曲线的拐点.（D）的极值点，（0，0）也不是曲线的拐点.5.2设 求证5.3证明：当时， 5.4证明不等式：当时，5.5求函数在区域上的最大值和最小值.5.6设D是位于曲线下方，x轴上方的无界区域.（1）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积；（2）当a为何值时，最小？并求此最小值.5.7已知抛物线 （其中在第一象限内与直线相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，求（1）为何值时，S达到最大值？（2）求出此最大值.5.8函数在区间上的最大值为.5.9求点（3，0）到抛物线的最短距离.5.10在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短.例题与练习题答案或提示5.1 (C)5.2 令利用单调性5.3 令利用单调性5.4 令 利用单调性5.5 求出函数驻点处的函数数值与边界上的函数的最值比较可得在D上的最大值为8，最小值为0.5.6 （1）（2）最小体积为5.7 （1）时，S达到最大值（2）5.85.95.106.积分法（1）同微分法一样积分法也是微积分中的重要内容，也是考试的重点与热点.考试的题型有：一、 对原函数、不定积分、定积分、反常积分等概念的理解上的有关题目；二、 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分；三、 关于变上限积分函数的有关问题；四、 利用定积分求平面图形的面积，旋转体的体积等；五、 计算二重积分（直角坐标、极坐标）例题与练习题6.1.6.2.6.36.4求6.5.6.6已知且，则.6.7设的一个原函数，求.6.8设，则.6.9.6.10设 则.6.11设连续，且，已知 求的值.6.12计算6.13已知曲线L的方程（1）讨论L的凹凸性；（2）过点（-1，0）引L的切线，求切点并写出切线的方程；（3）求此切线与L（对应于的部分）及x轴所围成的平面图形的面积.6.14设二元函数计算二重积分 其中6.15计算 其中6.16交换二次积分的积分次序.6.17交换二次积分的积分次序.6.18设函数在上连续，并设，求例题与练习题答案或提示6.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.13(1) L上凸（2）（3）6.146.156.166.176.187.常微分方程本节主要有两个问题一、根据实际问题所给的条件建立有自变量，未知函数及未知函数的导数的方程，以及相应的初始条件；二、求解方程，包括方程的通解和满足初始条件的特解.例题与练习题7.1微分方程的通解为.7.2已知曲线过点，且其上任一点处的切线斜率为，则.7.3微分方程满足的特解为.7.4求的通解7.5微分方程的通解为.7.6函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为.7.7设，其中连续，求.7.8若连续，满足，则= .7.9已知是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，求此微分方程及其通解.7.10求通过点（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离.7.11设函数在上连续，若曲线，直线与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积，试求所满足的微分方程，并求的解.例题与练习题答案或提示7.17.27.37.47.57.67.77.87.97.107.118.无穷级数（数学一，三）无穷级数在数学和其他科学的研究中都是有效的工具，它是一个函数或一个数的另一种表达形式，本节包含数项级数和函数项级数两部分内容.主要考查的内容是：一、 数项级数的敛散性及求幂级数的收敛域；二、 将函数展开为幂级数；三、 求某些数项级数的和或某些幂级数的和函数；四、 将函数展开为傅里叶级数，收敛定理.例题与练习题8.1设级数收敛，则必收敛的级数为（）（A）（B）（C）（D）8.2设a为常数，则级数（）（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与a的取值有关8.3判断级数的敛散性.8.4判断级数的敛散性.8.5求幂级数的收敛域及和函数.8.6求幂级数的收敛域及和函数.8.7将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.8.8将函数展开成x的幂级数，并指出其收敛区间.8.9设，则.例题与练习题答案或提示8.1 （D）8.2 （C）8.3 当时，级数收敛，当时，级数发散8.4 收敛8.5 收敛域为-1，1和函数8.6 收敛域-2，2) 8.78.88.9 19.向量代数和空间解析几何（数学一）本节的重点是向量的概念，向量的几种运算；线性运算，数量积，向量积和混合积；平面与直线的各种方程以及直线与直线、平面与平面、直线与平面的关系等.通过对历年试题归类分析可知，本节考试题型有：一、 求向量的数量积，向量积及直线或平面的方程二、 与多元微分学在几何上应用相关的题目注二次曲面的知识到目前为目，尚未单独命题考查，但在二重积分，曲面积分中将用到它所以也应复习，知道每种方程表示什么曲面.例题与练习题9.1已知，则（）（A）2（B）（C）（D）19.2点（2，1，0）到平面的距离.9.3过点且与直线 垂直的平面方程是.9.4两直线与的夹角为（）（A）（B）（C）（D）9.5曲面与平面平行的切平面方程是.9.6曲面在点（1，-2，2）的法线方程为.9.7由曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为.例题与练习题答案或提示9.1 （A）9.29.39.4 （B）9.59.69.710.积分法（2）（数学一）本节内容包括三重积分，曲线积分与曲面积分等，其重点内容是：上述积分的概念和性质；三重积分的计算；格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的充要条件，并会利用它们计算曲面积分；高斯公式与斯托克斯公式；场论初步；上述积分在几何与物理上的应用.本节常考的典型题型有：一、 三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）二、 对弧长和对坐标的曲线积分的计算，格林公式及其应用三、 对面积和对坐标的曲面积分的计算，高斯公式及其应用四、 梯度、散度、旋度的综合计算五、 利用上述积分求几何量与物理量（体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）例题与练习题10.1计算，其中是由曲线与所围成的区域.10.2计算三重积分，其中是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与所围成的立体.10.3计算，其中.10.4设L为，其周长为a，求10.5计算曲线积分，其中L是曲线 从z轴正向往负向看L方向是顺时针方向.10.6计算曲线积分其中L是以点（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1）取逆时针方向.10.7设试确定使并求.10.8计算曲面积分其中是球面10.9计算曲面积分其中是曲面 的上侧.10.10求八分之一的球面的边界曲线的质心,设曲线的线密度.10.11 算其中L是平面与柱面的交线,从轴正向看去,L为逆时针方向.10.12 量场在点处散度 .10.13 向量场,则 .10.14 设数量场则 .例题与练习题答案或提示10.1 . 提示 10.2 . 提示：旋转曲面方程为.10.3 提示：设L在第一象限内为L1. .10.4 12a. 提示：.10.5 -2. 提示：的参数方程为10.6 . 提示：作足够小椭圆。C取逆时针方向，在上用格林公式来解.10.7提示：先求10.8提示：将分成上半球面和下半球面，分别计算曲面积分.10.9.提示：加曲面.下侧为正,用高斯公式.10.10 .10.11 -24. 提示：利用斯托克斯公式化为曲面积分.10.12 2. 10.13 .10.14 .线 性 代 数-尤承业第一讲 矩阵一、初等变换和初等变换法1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换应用在两个方面: 线性方程组的解的情况讨论和求解.对增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换. 计算秩.初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.每一种应用都要通过同一种操作:用初等变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足: 如果它有零行,则都出现在下面. 如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.(即每一行左边的0的个数从上到下严格单调上升,直到都为0.)把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:台角位置的元素为1.台角正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵,每个阶梯形矩阵又可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.可逆矩阵可用初等行变换把它变为单位矩阵。2. 初等变换法（1）克莱姆法则 当线性方程组的方程数等于未知数个数n (即系数矩阵A为n阶矩阵)时, |A|不等于0方程组有唯一解求解的初等变换法:对增广矩阵(A|b)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|b)(E|h),h就是解. (2)两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B. (II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)设 B=(b1, b2,bs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,Xs),则有AXi=bi,i=1,2,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X. (A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,转置得X. (AT|BT)(E|XT)(3) 当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.二、矩阵乘法的两个规律及其应用1.两个规律设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为a1,a2,an,B的列向量组为b1, b2,bs, AB的列向量组为g1, g2,gs,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形): AB的每个列向量为:gi=Abi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). b=(b1,b2,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+bnan.2.矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB. 例如设A=(a,b,g), C=(a+2b-g,3a-b+g,a+2g),令 1 3 1 B= 2 -1 0 ,则C=AB. -1 1 23.乘积矩阵的列向量和行向量乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1, a2,an的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量bi的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.在许多情况下，可利用这两个事实求乘积矩阵AB：如果B的元素很简单，可直接写出AB的列向量，如果A的元素很简单，可直接写出AB的列向量，4.对角矩阵和初等矩阵在乘法中的作用如果一个对角矩阵在矩阵乘法中处于右侧,等同于用它对角线上各数依次乘左边矩阵A的各列向量; 如果对角矩阵处于左侧,等同于用它对角线上各数依次乘右边矩阵A的各行向量.初等矩阵在右(左)边乘一个矩阵A,等同于对A作一次相应的初等列(行)变换.三、可逆矩阵判断n阶矩阵A是可逆矩阵|A|0r(A)=n AX=b唯一解(AX=0只有零解)0不是A的特征值.四、矩阵等式的恒等变形用到各类运算规律.乘法无交换律和消去律.可逆矩阵在乘法中有消去律.可逆矩阵在等式中可移到另一侧(换为逆).A*A=AA*=|A|E.右肩符号“T”“k”“-1”“*”两两可交换先后次序. 例题例1(2006)设A是3阶矩阵,将A的第2行加到第1行上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP.(B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT.例2 设A 是n阶非零实矩阵,满足A*=AT.证明:(1)|A|0.(2)如果n2,则 |A|=1.例3 (2005)设矩阵A=(aij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . 例4 (2005)设A为3阶矩阵, a1,a2,a3是线性无关的3维列向量组,满足Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.求作矩阵B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)B. 例5(2005)设3阶矩阵A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.例6(2006)已知a1,a2为2维列向量,矩阵A=(2a1+a2, a1-a2),B=(a1, a2).若|A|=6,则|B|=( ).例7(2001)设A 是3阶矩阵, a 是3维列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a=3Aa-2A2a.又3阶矩阵B满足A=PBP-1. 求B.例8 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 -1例9(1997)设3阶矩阵A 有3个特征向量h1=(1,2,2)T，h2=(2,-2,1)T，h3=(-2,-1,2)T，它们的特征值依次为1,2,3,求A例10 设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆.(2)证明对任何整数c,A-cE可逆.例11 设A是mn矩阵,B是nm矩阵,证明 Em-AB可逆 En-BA可逆.例12 设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab0,证明(1) A-bE和B-aE都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA. 例13 设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例14 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(1) 设AB=BA,证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 设A,B都可逆,证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B的成立不要任何条件.例15 设A,B都是n阶对称矩阵,并且A可逆,证明:矩阵方程AX=B与XA=B的解相同 AB=BA.第二讲 向量组的线性关系和方程组一、线性表示关系1.设a1,a2,as是一个如果n维向量组.如果n维向量b等于a1,a2,as的一个线性组合，就说b可以用a1,a2,as线性表示.判别“b是否可以用a1, a2,as线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x1a1+ x2a2+xsas=b是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出就是以(a1, a2,as |b)为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“线性方程组AX=b是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“b是否可以用A的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.2.如果n维向量组b1, b2,bt 中的每一个都可以用a1,a2,as线性表示,就说向量b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示. 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB的每个列向量都可以表示为A的列向量组的线性组合,从而AB的列向量组可以用A的列向量组线性表示;反之,如果向量组b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则矩阵(b1,b2,bt)等于矩阵(a1,a2,as)和一个st矩阵C的乘积. C可以这样构造: 它的第i个列向量就是bi对a1,a2,as的分解系数(C不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性.3. 当向量组a1,a2,as 和b1,b2,bt互相都可以表示时,就说它们等价,并记作a1,a2,as b1,b2,bt.等价关系也有传递性.二、向量组的线性相关性1. 意义与定义线性相关性是描述向量组内在关系的概念,它是讨论向量组a1, a2,as 中有没有向量可以用其它向量线性表示的问题.如果没有,就说它们线性无关,如果有(不必每个)向量可以用其它向量线性表示,就说它们线性相关.定义 设a1,a2,as 是n维向量组,如果存在不全为0的一组数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,则说a1,a2,as 线性相关,否则(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必须c1,c2,cs全为0)就说它们线性无关. 于是, a1,a2,as “线性相关还是无关”也就是向量方程x1a1+ x2a2+xsas=0“有没有非零解”,也就是以(a1,a2,as )为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解.当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就是它是(不是)零向量.两个向量的相关就是它们的对应分量成比例.2. 性质(1) 当向量的个数s大于维数n时, a1, a2,as 一定线性相关.如果向量的个数s等于维数n,则 a1, a2,an线性相关| a1, a2,an|=0.(2) 线性无关向量组的每个部分组都无关(从而每个向量都不是零向量). (3) 如果a1,a2,as 线性无关,则：a1,a2,as ,b线性相关 b可用a1,a2,as 线性表示.(4) 如果b可用a1,a2,as 线性表示,则表示方式唯一a1,a2,as 线性无关.(5) 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示，并且ts,则b1,b2,bt线性相关.三、向量组的极大无关组和秩1. 定义向量组的秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念.它表明向量组可以有多大(指包含向量的个数)的线性无关的部分组.定义 设a1,a2,as 是n维向量组,(I)是它的一个部分组.如果 (I) 线性无关. (I) 再扩大就线性相关. 就称(I)为a1,a2,as 的一个极大无关组.条件可换为:任何ai都可用(I) 线性表示,也就是(I) 与a1,a2,as 等价.当a1,a2,as 不全为零向量时,它就存在极大无关组,并且任意两个极大无关组都等价,从而包含的向量个数相等.定义 如果a1,a2,as 不全为零向量,则把它的极大无关组中所包含向量的个数(是一个正整数)称为a1,a2,as 的秩,记作r(a1,a2,as).如果a1,a2,as 全是零向量,则规定r(a1,a2,as)=0. 由定义得出: 如果r(a1,a2,as)=k,则 a1,a2,as 的一个部分组如果含有多于k个向量,则它一定的相关. a1,a2,as 的每个含有k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组.2. 应用 (1)a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as)=s.(2) b可用a1,a2,as 线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).(事实上若b不可用a1,a2,as 线性表示,则r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.)(3) b可用a1,a2,as 唯一线性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)=s.(4)b1,b2,bt可以用a1,a2,as 线性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).推论: 如果 b1,b2,bt可以用a1,a2,as线性表示,则 r(b1,b2,bt)r(a1, a2, ,as ).(5) a1,a2,as和b1,b2,bt等价 r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).四、秩的计算,有相同线性关系的向量组两个向量个数相同的向量组a1,a2,as,和 b1,b2,bs称为有相同线性关系,如果向量方程x1a1+x2a2+xsas=0和x1b1+x2b2+xsbs=0同解,即齐次线性方程组(a1,a2,as)X=0和( b1,b2,bs)X=0同解.当a1,a2,as和 b1,b2,bs有相同线性关系时,(1)它们的对应部分组有一致的线性相关性.(2)它们的极大无关组相对应,从而它们的秩相等.(3)它们有相同的内在线性表示关系.例如,当A经过初等行变换化为B时, AX=0和BX=0同解,从而A的列向量组和B的列向量组有相同线性关系.于是它们的极大无关组相对应,秩相等.这样,就产生了计算一个向量组a1,a2,as的秩和极大无关组的方法:把此向量组作为列向量组构造矩阵(a1,a2,as),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B,则B的非零行数就是a1,a2,as的秩, B的各台角所在列号对应的部分组是a1,a2,as的的一个极大无关组. 五、矩阵的秩1. 定义一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等,称此数为矩阵A的秩,记作r(A).于是r(A)=0 A=0.如果A是mn矩阵,则r(A)Minm,n.当r(A)=m时,称A为行满秩的; 当r(A)=n时,称A为列满秩的.对于n阶矩阵A,则行满秩和列满秩是一样的,此时就称A满秩.于是:n阶矩阵A满秩r(A)=n(即A的行(列)向量组无关)|A|0A可逆.矩阵的秩还可以用它的非0子式来看.A的r阶子式:任取 A的r行和r列,在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式,如果它的值不为0,就称为非0子式.命题 r(A)就是A的非0子式的阶数的最大值.(即A的每个阶数大于r(A)的子式的值都为0,但是A有阶数等于r(A)的非0子式.)2. 计算命题 初等变换保持矩阵的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵,则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩.3. 在矩阵运算中,矩阵的秩有性质 r(A T)=r(A). 如果c不为0,则r(cA)=r(A). r(AB)r(A)+r(B). r(AB)Minr(A),r(B). 当A(或B)可逆时,r(AB)=r(B)(或r(A). 如果AB=0,n为A的列数(B的行数),则r(A)+r(B)n. 如果A列满秩(r(A)等于列数),则r(AB)=r(B).六、线性方程组解的情况的判别1.对于方程组AX=b,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A),r(A|b). 无解r(A )r(A|b). 有唯一解r(A )=r(A|b)=n. (当A是方阵时,就推出克莱姆法则.) 有无穷多解r(A )=r(A|b)n.方程的个数m虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此当r(A)=m时, AX=b一定有解.当mn时,一定不是唯一解.2.对于齐次方程组AX=0,判别解的情况用两个数: n,r(A).有非零解 r(A )=n(即:只有零解r(A )=n).七、齐次方程组的基础解系 如果齐次方程组AX=0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX=0的基础解系.于是, 当h1, h2,hs是AX=0的基础解系时:向量h是AX=0的解h可用h1, h2,hs线性表示.定理 设AX=0有n个未知数,则它的基础解系中包含解的个数(即解集的秩)=n-r(A ).于是,判别一组向量h1, h2,hs是AX=0的基础解系的条件为 h1, h2,hs是AX=0的一组解. h1, h2,hs线性无关. s=n-r(A ). 例题例16(2006) a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，下列选项中正确的是（ ）.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关. 例17(2006) 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.例18 设a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，问a,b满足什么条件时r(a1,a2,a3)=2?例19设a1=(1,2,0,1) , a2 =(1,1,-1,0), a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值时, g1+kg2可用a1,a2,a3线性表示?写出表示式.例20(2000) 设a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3线性表示，求a,b.例21(2005)求常数a,使得向量组a1=(1,1,a),a2=(1,a,1),a3=(a,1,1)可由向量组b1=(1,1,a),b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)线性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3线性表示. 例22 (2003)给定向量组() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)当a为何值时()和()等价? a为何值时()和()不等价?例23设 a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它们的下列部分组中,是极大无关组的有哪几个?(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.例24(1995)已知r(a1,a2,a3)=r(a1,a2,a3,a4)=3,r(a1,a2,a3,a4,a5)=4，求r(a1,a2,a3,a4-a5 )例25已知b可用a1,a2,as 线性表示，但不可用a1,a2,as-1线性表示证明 as不可用a1,a2,as-1线性表示； as可用a1,a2,as-1,b线性表示例26(2004) a1,a2,a3,b线性无关,而a1,a2,a3,g线性相关,则(A) a1,a2,a3,cb+g线性相关.(B) a1,a2,a3,cb+g线性无关.(C) a1,a2,a3,b+cg线性相关.(D) a1,a2,a3,b+cg线性无关.例27 a b -3 b-1 a 13阶矩阵A= 2 0 2 ，B= -1 1 0 ，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和 3 2 -1 0 2 1 r(AB).例28 (1997) 设 a1，a2，a3 线性无关，则( )线性无关： a1+a2，a2+a3，a3-a1； a1+a2，a2+a3， a1+2a2+a3； a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1； a1+a2+a3，2a1-3a2+22a3，3a1+5a2-5a3 (97三)例29 设a1,a2 ,as是n维向量组.证明r(a1,a2 ,as)=n的充分必要条件为:任何n维向量都可用a1,a2,as线性表示. 例30 证明矩阵方程AX=B有解r(A|B)=r(A).例31(2002) 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4线性无关, a1=2a2-a3.又设b=a1+a2+a3+a4,求AX=b的通解.例32(2005) 1 2 3已知3阶矩阵A的第一行为(a,b,c),a,b,c不全为0, 矩阵 B= 2 4 6 ,并且A B=0, 3 6 k求齐次线性方程组A X=0的通解. 例33已知 x1=(1,1,-1,-1)T和x2=(1,0,-1,0)T是线性方程组 x1+ x2 -x3 +x4=2，x2 +px3+qx 4=s, 2x1+tx2-x3+tx 4=r 的解,=(2,-2,1,1)T是它的导出组的解,求方程组的通解.例34 设()和()是两个四元齐次线性方程组,()是将它们合并而得到的方程组.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是()的一个基础解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是 () 的一个基础解系求()的通解例35 设()和()是两个四元齐次线性方程组,()的系数矩阵为 2 3 -1 01 2 1 -1 ，()的一个基础解系为(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知()和()有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.(02四)例36 设()和()都是3元非齐次线性方程组,()有通解x1+c1h1+c2h2,其中x1=(1,0,1)T,h1=(1,1,0)T,h2=(1,2,1)T；()有通解x2+ch, x2=(0,1,2)T,h=(1,1,2)T.求()和()的公共解.例37 (2005)已知齐次方程组 x1+2x2+3x3=0, x1+bx2+cx3=0, 2x1+3x2+5x3=0, 和 2x1+b2x2+(c+1)x3=0x1+x2+ax3=0同解,求a,b,c.例38 (2006)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 第三讲 特征值特征值是后面两章中的关键性概念.一、特征值的计算(1)l是A的特征值|lE-A|=0，即(lE-A)不可逆.即: l不是A的特征值 A-lE可逆.特别地:0是A的特征值 A不可逆.(或矩阵 A可逆0不是A的特征值.)(2) h是属于l的特征向量h是齐次方程组(lE-A)X=0的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： 计算A的特征多项式|xE-A|，求出它的根，即A的特征值；然后对每个特征值l，求齐次方程组(lE-A)X=0的非零解，即属于l的特征向量.如果A是三角矩阵(包含对角矩阵),则它的特征值就是对角线上的元素.二、特征值的性质 (1)设l1,l2,ln是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： l1+l2+l n=tr(A)( A的迹数，即主对角线上元素之和).). l1l2ln=|A|.(2)设l是A的特征值，则它的重数n-r(lE-A).应用:如果n阶矩阵A的秩为1,则他的特征值: 0,0,0, tr(A).三、相关矩阵的特征值如果A的特征值是l1,l2,ln，则 f(A)的特征值是f(l1),f(l2),f(ln). 如果A可逆，则A-1的特征值是1/l1,1/l2,1/ln; A*的特征值是|A|/l1,|A|/l2,|A|/ln.四、特征值的应用1. 计算行列式.2. 判断n阶矩阵的可逆性.3. 判断n阶矩阵A可否对角化: A可对角化对于A的每个特征值l,其重=n-r(lE-A).4. 实对称矩阵A的正(负)惯性指数:就是它的正(负)特征值的个数.于是,两个实对称矩阵合同它们的正(负)特征值的个数对应相等.对于两个实对称矩阵,相似合同等价.5. 实对称矩阵正定特征值都大于0.例题 例39(1992) a 1 1 1 求矩阵 1 a 1 1 的特征值1 1 a 11 1 1 a 例40(2003) 3 2 2 0 1 0 设A = 2 3 2 ,U= 1 0 1 , B=U-1A*U.求B+2E的特征值和特征向量.2 2 3 0 0 1 例41 1+x1 1 1 1 计算行列式 1 1+x2 1 1 1 1 1+x3 11 1 1 1+x4 例42 已知3阶矩阵A满足|A+E|=|A-E|=|4E-2A|=0,求|A3-5A2|. 例43 设a=(1,2,-1)T, b=(-2,1,-2)T, A=E-abT. 求|A2-2A+2E|.例44已知满n阶矩阵A足A3=E. (1)证明A2-2A-3E可逆. (2)证明A2+A+2E可逆. 例45 (2004) 1 2 -3 已知3阶矩阵A = -1 4 3 有一个二重特征值,求a,并且讨论A 可否对角化.1 a 5例46(2004) 1 b b 设n阶矩阵 A = b 1 b , b b 1(1)求A 的特征值和特征向量.(2)求作可逆矩阵U,使得U-1AU是对角矩阵.例47 已知n阶矩阵A的秩为1.证明A可对角化tr(A)0.例48 已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0,其中ab.证明:(1) A可对角化.(2) r(A-aE)+r(A-bE)=n.例49(2004) 设3阶实对称矩阵A的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.(1)求A的另一个特征值与相应的特征向量.(2)求A.例50(2001) 设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式. 二次型f(x1,x2,xn) =.(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型.(2) f(x1,x2,xn)的规范形和X TAX的规范形是否相同?为什么?例51(2003)设 1 1 1 1 4 0 0 0 A= 1 1 1 1 , B= 0 0 0 0 ,则 1 1 1