【教学随笔】线性规划典型题例解析

金太阳新课标资源网 线性规划典型题例归类解析“简单的线性规划”是在学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，在高考中占有一席之地，既有考查线性规划自身理论系统知识的试题，也有考查利用线性规划研究实际应用问题的试题，同时也有与其它知识相结合的交汇性试题.下面就线性规划的常见题型进行分类解析.一、求约束条件下的平面区域的面积例1在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是(A)4(B)4(C)2(D)2分析：先根据约束条件作出平面区域，然后根据区域的图形特征求面积.解：由条件作图可知可行域为ABC，求出各个交点坐标为A(2，4)、B(2，0)、C(0，2)，则SABC|AB|OB|4，故选择B.点评：平面区域如果是三角形，则可选择与坐标轴平行的边为底求三角形面积；如果平行区域不是一个三角形，可将区域划分为几个易求面积三角形.二、求解与约束条件下与平面区域相关的距离问题例2已知，则x2y2的最小值是_.分析：先根据约束条件作出平面区域，然后根据x2y2(平面区域内的点到原点的距离的平方)的几何意义进行求解.解：由，画出可行域，求得交点A(1，2)，B(3，4)，则由图观察知，平面区域内的点到原点距离最小的点为A点，而|OA|，所以x2y2的最小值是5.点评：解答本题的关键就是要明确的几何意义x2y2，即x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方.三、求解与约束条件下的平面区域相关的斜率问题例3实数x，y满足不等式组，求u的取值范围. 分析：因为表达式与斜率的坐标公式类似，因此可转化为斜率问题来解决.解：满足已知不等式的可行域如图所示，视(x，y)为坐标平面可行域内的点，则u表示动点(x，y)与定点(1，1)连线的斜率，由条件求得各交点的坐标O(0，0)，A(2，2)、B(1，0)，由斜率公式得kPA，kOP1，所以1u.点评：此类题型在确定斜率的取值范围时遵循：如果垂直于x轴的直线满足条件，则所求的斜率在两条边界直线的斜率之外；如果垂直于x轴的直线不满足条件，则所求的斜率在两条边界直线的斜率之间，注意“等号”是否可取.四、求解约束条件下的线性目标函数的最值问题例4在约束条件下，当3s5时，目标函数z3x2y的最大值的变化范围是( ) A.6，15B.7，15C.6，8D.7，8分析：由于约束条件中含有参数s，因此可行域是一个动态的区域，因此在确定最大值时要注意分类.解：由，得，所以各交点坐标分别为A(0，2)，B(0，s)，C(4s，2s4)，D(0，s)，E(0，4)，（1）当3s4时可行域是四边形OACD，此时，目标函数在C点取得最大值z3(4s)2(2s4)s4，所以7z8；（2）当4s5时可行域是OAE，此时，目标函数在E点取得最大值z30248，所以zmax8，故选D.点评：对参数的处理是解答本题的一个关键，进行分类讨论的标准是根据由约束条件所形成的可行域的不同形状.在解答过程中要注意将目标函数z转化为关于s的函数进行求解.五、求解在约束条件下目标函数中参数的问题例5已知变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2.若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a的取值范围为_.解析：变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，kAD1，kAB1，由目标函数zaxy（其中a0）得yaxz，则z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点A(3，1)处取得最大值，则直线yaxz应在直线xy4与直线x3之间，直线斜率应小于kAB1，即a1，所以a的取值范围为(1，).点评：本题的目标函数对应的直线的斜率是变化的，一般求解目标函数的最值时要将目标函数对应的直线的斜率与线性约束条件下的对应的直线的斜率进行比较，若目标函数对应的直线过两条直线的交点，且位于两直线之间，则其对应的斜率也就在两个相交直线的斜率之间.另外解答本题的一个关健是挖掘出a与z的几何意义.六、求平面区域的约束条件例6双曲线x2y24的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)(B) (C) (D) 分析：本题要从根据题设条件作出平面区域入手，然后确定各边界所在的直线方程，再确定其所对应的代数式的符号. 解：双曲线x2y24的两条渐近线方程为yx，与直线x3围成一个三角形区域，如图所示，在区域内取点A(1，0)，代入代数式：xy、xy、x得xy1，xy1，x1，则该区域的约束条件为，故选A.点评：本题是一道逆向思维性题，其难点主要是确定各边界所在的直线方程AxByC0对应的代数式AxByC的符号，一般根据平面区域的一个特殊点的坐标代入AxByC即可确定.另外要注意边界所在直线的虚实.七、求解可行域内的最优整数解问题例4求z90x100y的最大值，使式中的x,y满足约束条件的整数值.分析：首先是要作出可行域，找出目标函数取最大值时的最优解，如果不是整数解，则需找与此点较近的几个整数点，再作比较可求得结果.解：由约束条件作出可行域，如图所示，由,得,令90x100yt,作直线：90x100y0，即9x10y0的平行线90x100yt，当90x100yt过点M(,)时，直线90x100yt中的截距最大，但不是整数解.整数解将出现在直线x1与x2两条直线上，而离点M较近的两个点为(1，3)与(2，2)，代入z90x100y比较可知当时，z90x100取得最大值390.点评：在求使目标函数的最优整数解时，如果使目标函数取得最值的点M(x0，y0)不是整数解，则满足条件的整数解出现在离点M最近的两条直线xm1与xm1(m为x0的整数部分)上.一般在确定与M点较近的两个点后，要将此两点的坐标代入目标函数计算进行比较，从而确定其最优整数解.八、应用线性规划解决实际问题例3制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知，目标函数z=x+0.5y，作出不等式组表示的平面区域如图3所示，阴影部分（含边界）即可行域，作直线l0：x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=t，tR，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大，这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交点,可得M（4，6）.此时t=14+0.56=7（万元）,所以当x=4，y=6时，z取得最大值7万元.点评：线性规划在实际应用中较为广泛，利用线性规划解决应用问题的方法可按下列步骤进行：根据题意，建立数学模型，作出可行域；设所求的目标函数f（x，y）=m；将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f（x，y）=m在y轴上截距的最值，从而得到m的最值.第 3 页 共 3 页 金太阳新课标资源网