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第5章 机械振动5-1 有一弹簧振子，振幅，周期，初相.试写出它的振动位移、速度和加速度方程。分析 根据振动的标准形式可得到振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。解：振动方程为 代入有关数据得 振子的速度和加速度分别是 5-2一弹簧振子的质量为，当以的振幅振动时，振子每重复一次运动.求振子的振动周期T、频率、角频率、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率、和弹簧给物体的最大作用力.分析：最大速率, ，所以只要求出周期T即可.解：由题意可知 ； 所以频率 ； 角频率 ； 倔强系数 ； 最大速率 最大作用力 5-3质量为的质点，按方程沿着x轴振动.求：（1）时，作用于质点的力的大小；（2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐运动方程求解，位移最大时受力最大。解：（1）跟据牛顿第二定律，将代入上式中，得： （2）由可知，当时，质点受力最大，为5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d（从最高水平到最低水平）做简谐运动，周期为12.5h.求水从最高处下降了d/4高度需要多少时间？分析：由旋转矢量法即可求解.解图5-4解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见 5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅，周期，当时，则：（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在处，向负方向运动；（4）物体在处，向负方向运动.求以上各种情况的振动方程。分析 根据旋转矢量图，由位移和速度可以确定初相位。进而得出各种情况的振动方程。解图5-5解：设所求振动方程为 由旋转矢量图解图5-5可求出初相位（1）（2）（3）（4）5-6在一轻弹簧下端悬挂砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的的初速度（令这时）.选x轴向下为正，求振动方程.分析 在平衡位置为原点建立坐标轴，由初始条件得出特征参量。解：弹簧的劲度系数 该弹簧与物体构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为角频率为代入数据后求得以平衡位置为原点建立坐标，则由得据得由于,应取，于是，所求方程为5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求：（1）质点的振动方程；（2）质点从的位置到达P点相应位置所需的最短时间.分析 由旋转矢量可以得出初相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确定最短时间。题图5-75-8有一弹簧，当下面挂一质量为的物体时，伸长量为.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.（1）当时，物体在平衡位置上方，由静止开始向下运动，求振动方程.(2) 当时，物体在平衡位置并以的速度向上运动，求振动方程.分析 根据初始条件求出特征量建立振动方程。解：设所求振动方程为其中角频率，代入数据得（1） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有据得据得，由于0，不妨取于是，所求方程为（2） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有据得据得，由于，应取，于是，所求方程为5-9 一质点沿x 轴做简谐运动，振动方程为，求：从时刻起到质点位置在处，且向x轴正方向运动时的最短时间.分析 由旋转矢量图求得两点相位差，结合振动方程中特征量即可确定最短时间。解图5-9解: 依题意有旋转矢量图（解图5-9），从图中可得到 而故所求时间为5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.分析 由旋转矢量图求解。根据运动速度的方向与位移共同确定初相位。解图5-10解：由于、可求得由于、可求得如解图5-10所示，相位差题图5-115-11一简谐运动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.分析 利用旋转矢量图求解，由解图5-11中两个确定点求得相位，再根据时间差求得其角频率。解：设所求方程为当时，由A旋转矢量图可得 解图5-11当时，从x-t图中可以看出据旋转矢量图可以看出 所以，2秒内相位的改变量据可求出于是，所求振动方程为5-12 在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,物体的质量为,振幅为A.当物体通过平衡位置时,有一质量为的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起.求:（1）和粘结后,系统的振动周期和振幅;（2）若当物体到达最大位移处,泥团竖直落到物体上,再求系统振动的周期和振幅.分析 系统周期只与系统本身有关，由质量和劲度系数即可确定周期，而振幅则由系统能量决定，因此需要由动量守恒确定碰撞前后速度，从而由机械能守恒确定其振幅。解:（1）设物体通过平衡位置时的速度为,则由机械能守恒得当竖直落在处于平衡位置上时为完全非弹性碰撞,且水平方向合外力为零,所以此后,系统的振幅变为,由机械能守恒,有 系统振动的周期为（2）当在最大位移处竖直落在上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为.5-13 设细圆环的质量为m,半径为R,挂在墙上的钉子上.求它微小振动的周期.分析 圆环为一刚体，可由转动定律求解。解: 如解图5-13所示,转轴O在环上,设角度以逆时针为正,则振动方程为解图5-13当环作微小摆动时, 得设 得因为 ，所以5-14 一轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时 (1) 求物体的振动方程；(2) 求物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力；(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间分析 小物体分离的临界条件是对振动物体压力为零，即两物体具有相同的加速度，而小物体此时加速度为重力加速度，因此可根据两物体加速度确定分离条件。解： 如解图5-14所示，选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。 由 得 (1) 由题意可知 所以振动方程 (2) 物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力 而所以(3) 因为时刻的初相位，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为物体在平衡位置上方处，此时，即 因为此时物体向上运动，所以 由 得5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为的重物.现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为0.50s，振幅为，求：（1）平板到最低点时，重物对板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？分析 重物跳离平板的临界条件是对平板压力为零。解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为而跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力为（1）在最低点处：,由上式得（2）频率不变时，设振幅变为,在最高点处（）重物与平板间作用力最小，设可得（3）振幅不变时，设频率变为，在最高点处（）重物与平板间作用力最小，设可得5-16一物体沿x轴做简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t=0时位移为，且向x轴正方向运动，求：（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间？分析 通过旋转矢量法确定两位置的相位从而得到最小时间。解：设该物体的振动方程为依题意知据得解图5-16由于,应取可得（1）时，振动相位为据得（2）由A旋转矢量图可知，物体从处向x轴负方向运动，到达平衡位置时，A矢量转过的角度为，该过程所需时间为5-17一单摆的角振幅，周期，求（1）最大的摆动角速度；（2）当角位移是角振幅一半时，角速度的大小.分析：写出振动的一般表达式，求导得到角速度的一般表达式后，根据已知条件则可求解.解：(1) 因，设振动的表达式为则 （2）当时，有所以角速度的大小 5-18 有一水平的弹簧振子, 如题图5-18所示，弹簧的劲度系数,物体的质量,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力作用在物体上(不计一切摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时,求物体的运动方程.分析 恒力做功的能量全部转化为系统能量，由机械能守恒可确定系统的振幅。题图5-18解: 设所求方程为 因为不计摩擦,外力做的功全转变成系统的能量, 故所以又因为 ，所以故所求物体的运动方程为 题图5-195-19一质点在x轴上做简谐运动，如题图5-19所示，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点( t = 0 )，经过2s后质点第一次通过B点，再经过2s后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且 = 10 cm，求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率分析 由质点在A、B两点具有相同的速率可知A、B两点在平衡位置两侧距平衡位置相等距离的位置，再联系两次经过B点的时间即可确定系统的周期，而相位可由A、B两点位置确定。解：由旋转矢量图（解图5-19）和 可知(1) 以的中点为坐标原点，x轴指向右方时时 由上面二式解得 因为在A点质点的速度大于零，所以取所以振动方程 (2) 速率 当t = 0 时，质点在A点的速率为 5-20一物体放在水平木板上，这木板以的频率沿水平直线做简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数，求物体在木板上不滑动时的最大振幅.分析 物体在木板上不滑动的临界条件是摩擦力全部用来产生其加速度。解 设物体在水平木板上不滑动竖直方向 (1)水平方向 (2)且 (3)又因为 (4)由(1)(2)(3)解得 再由此式和(4)得 5-21一只摆长为2.00m的单摆，试求它在下列情况下单摆的周期.（1）在室内；（2）在以a为加速度上升的电梯里.分析：对两种情况下进行受力分析，列出牛顿运动方程，化成标准形式后，即可求得角频率，进而利用T=2/求得相应的周期T.解：设单摆的摆线在平衡位置的右方时，角度为正。（1） 则对室内的单摆，由转动定律得当时，,有 将代入上式，得设 ，得 所以，单摆的周期 （2）在以a为加速度上升的电梯里因为电梯是非惯性系，需要加一个惯性力，由转动定律得当时，,有同理，可得单摆的周期5-22一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动.已知氢原子质量，振动频率，振幅.试计算：(1)此氢原子的最大速度；(2)与此振动相联系的能量.分析 振动能量可由其最大动能（此时势能为零）确定。解：(1)最大振动速度 (2)氢原子的振动能量为5-23 一物体质量为，在弹性力作用下做简谐运动，弹簧的劲度系数，如果物体起始振动时具有势能和动能，求：(1)振幅；(2)动能恰等于势能时的位移；(3)经过平衡位置时物体的速度.分析 简谐运动机械能守恒，其能量由振幅决定。解：(1) (2) 因为 , 当时，有，得 即 (3)过平衡点时，此时动能等于总能量题图5-245-24 一定滑轮的半径为R，转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图5-24所示.设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力.现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体做简谐运动，并求出其角频率.分析 由牛顿第二定律和转动定律确定其加速度与位移的关系即可得到证明。解：如解图5-24所示，取x坐标,平衡位置为原点O，向下为正，在平衡位置时弹簧已伸长，则设在位置，分析受力，这时弹簧伸长解图5-24由牛顿第二定律和转动定律列方程：联立(1)(2)(3)(4)(5)解得由于系数为一负常数，故物体做简谐运动，其角频率为 5-25两个同方向的简谐运动的振动方程分别为: （1）求合振动的振幅和初相位；（2）若另有一同方向同频率的简谐运动，则为多少时，的振幅最大？又为多少时，的振幅最小？分析 合振动的振幅由其分振动的相位差决定。解：（1）按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为 所以，合振动方程为(2)当，即时，的振幅最大.当，即时，的振幅最小.解图5-265-26有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为，合振动的相位与第一个振动的相位差为，第一个振动的振幅为，求第二个振动的振幅及两振动的相位差。分析 根据已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋转矢量合成图（解图5-26）求解取第一个振动的初相位为零，则合振动的相位为据可知,如图：由于、的量值恰好满足勾股定理，故与垂直. 即第二振动与第一振动的相位差为527一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其振动方程分别为，画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程. 解图5-27分析 将方程转化为标准方程从而确定其特征矢量，画出矢量图。解： 作两振动的旋转矢量图，如解图5-27所示，合振动的振幅和初相分别为.合振动方程为528将频率为348Hz的标准音叉和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz.若在待测音叉的一端加上一个小物块，则拍频将减小，求待测音叉的角频率.分析 质量增加频率将会减小，根据拍频减少可推知两个频率的关系。解：由拍频公式可知在待测音叉的一端加上一个小物体，待测音叉的频率会减少，若拍频也随之减小，则说明,于是可求得5-29一物体悬挂在弹簧下做简谐运动，开始时其振幅为0.12m，经144s后振幅减为0.06m.问：(1)阻尼系数是多少？(2)如振幅减至0.03m，需再经过多少时间？分析 由阻尼振动振幅随时间的变化规律可直接得到。解：(1) 由阻尼振动振幅随时间的变化规律得 （2） 由得于是5-30一弹簧振子系统，物体的质量，弹簧的劲度系数.系统振动时受到阻尼作用，其阻尼系数为，为了使振动持续，现加一周期性外力作用.（1）求振动达到稳定时的振动角频率；（2）若外力的角频率可以改变，则当其值为多少时系统出现共振现象？其共振的振幅为多大？分析 受迫振动的频率由外力决定。解：（1）振动达到稳定时，振动角频率等于周期性外力的角频率，有(2)受迫振动达到稳定后，其振幅为式中为系统振动的固有角频率，为外力的振幅由上式可解得，当外力的频率为时系统出现共振现象，共振的振幅为
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