（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角学案 新人教A版必修2

（浙江专用版）2022-2023学年高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角学案 新人教A版必修2学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案角的构成要素有始边、顶点、终边思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向梳理(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB所成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的始边和终边(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角知识点二象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内梳理在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角知识点三终边相同的角思考1假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？答案它们的终边相同660602360，42060360，故它们与60分别相差了2个周角及1个周角思考2如何表示与60终边相同的角？答案60k360(kZ)梳理终边相同角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1经过1小时，时针转过30.()提示因为是顺时针旋转，所以时针转过30.2终边与始边重合的角是零角()提示终边与始边重合的角是k360(kZ)3小于90的角是锐角()提示锐角是指大于0且小于90的角4钝角是第二象限角()5第二象限角是钝角()提示第二象限角不一定是钝角类型一任意角概念的理解例1(2018牌头中学月考)下列命题正确的是()A第一象限角是锐角B钝角是第二象限角C终边相同的角一定相等D不相等的角，它们终边必不相同考点任意角的概念题点任意角的概念答案B反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小跟踪训练1写出下列说法所表示的角(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角考点任意角的概念题点任意角的概念解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为720.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900.类型二象限角的判定例2(1)已知下列各角：120；240；180；495.其中是第二象限角的是()A B C D考点象限角、轴线角题点象限角答案D解析120为第三象限角，错；240360120，120为第二象限角，240也为第二象限角，故对；180为轴线角；495360135，135为第二象限角，495为第二象限角，故对故选D.(2)已知为第三象限角，则是第几象限角？考点象限角、轴线角题点象限角解因为为第三象限角，所以k360180k360270，kZ，所以k18090k180135，kZ，当k为偶数时，记k2n，nZ，n36090n360135，nZ，所以终边在第二象限，当k为奇数时，记k2n1，nZ，n360270n360315，nZ，所以终边在第四象限综上可知，是第二象限角或第四象限角反思与感悟(1)判断象限角的步骤当0360时，直接写出结果；当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限(2)一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出跟踪训练2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.考点象限角、轴线角题点象限角解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角考点终边相同的角题点终边相同的角解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值跟踪训练3写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来考点终边相同的角题点终边相同的角解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4,5,6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线yx上的角的集合考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并跟踪训练4写出终边在直线yx上的角的集合考点终边相同的角题点终边相同的角解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；终边在yx(x0，解得k，故当k9时，240满足条件10若k36045，kZ，则是第_象限角考点象限角、轴线角题点象限角答案一或三解析k36045，kZ，k18022.5，kZ.当k为偶数，即k2n，nZ时，n36022.5，nZ，为第一象限角；当k为奇数，即k2n1，nZ时，n360202.5，nZ，为第三象限角综上，是第一或第三象限角11.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是_；终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是_；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案|120k360，kZ315，45|45k360120k360，kZ解析终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ，取k0，1得315，45.故终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是315，45终边落在阴影部分的角的集合是|45k360120k360，kZ12集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB_.考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案126，36，54，144解析当k1时，126；当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144.AB126，36，54，14413已知角的终边在直线xy0上则角的集合S为_考点终边相同的角题点任意角的综合应用答案|60n180，nZ解析如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ14(2017山东临沂一中月考)若角满足180360，角5与有相同的始边与终边，则角_.考点终边相同的角题点终边相同的角答案270解析角5与具有相同的始边与终边，5k360，kZ，得4k360，kZ，k90，kZ，又180360，当k3时，270.三、解答题15(2017山西平遥一中月考)一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角(其中0180)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求，的值考点终边相同的角题点任意角的综合应用解根据题意，可知14，14均为360的整数倍，故可设14m360，mZ,14n360，nZ，则180，mZ，180，nZ.由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2，2均为第二象限角团为0180，所以022360，所以2，2均为钝角，即9022180，于是4590，4590.所以4518090，4518090，即m，n，又，所以mn，从而可得m2，n3，即，.