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第1章 常用逻辑用语1怎样解逻辑用语问题1.利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点.要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法.下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好.集合模型解释如下：A是B的充分条件，即AB.(如图1)A是B的必要条件，即BA.(如图2)A是B的充要条件，即AB.(如图3)A是B的既不充分又不必要条件，即AB或A，B既有公共元素也有非公共元素.(如图4)或图4例1设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(UA)BU的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析当AB时，如图1所示，则(UA)BU成立；当AB时，如图2所示，则(UA)B(UB)BU成立，即当(UA)BU成立时，可有AB.故AB是(UA)BU的充分不必要条件.答案充分不必要2.抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药.例2(1)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_.(2)已知命题p：“存在x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_.解析(1)将命题p转化为“当x1,2时，(x2a)min0”，即1a0，即a1.由命题q知，方程有解，即(2a)24(2a)0，解得a1或a2.综上所述，a1.(2)命题p转化为“当x1,2时，(x2a)max0”，即4a0，即a4.命题q：a1或a2.综上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质量词，有的放矢.3.挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真.例3设p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围.分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”.设p，q对应的集合分别为A，B，则可由ARB出发解题.解设p，q对应的集合分别为A，B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2y2r2外的点的集合.ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，直线3x4y120上的点到原点的最近距离大于等于r.原点O到直线3x4y120的距离为d，r的取值范围为00)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的.但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想.2辨析“命题的否定”与“否命题”一、知识梳理1.定义定义命题的否定对原命题的结论进行否定得到的新命题否命题对原命题的条件和结论同时否定得到的新命题2.真假关系表原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：原命题否定否命题真假与原命题的真假没有关系假真3.常用正面叙述词语及它的否定词语等于大于()小于()是都是词语的否定不等于不大于()不小于()不是不都是词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个p且qp或q词语的否定至少有两个一个也没有某个某些至少有n1个非p或非q非p且非q二、典例剖析例1写出下列各命题的否定形式及否命题：(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若xy0，则x0或y0；(3)若x，y都是奇数，则xy是奇数.分析分清结论和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件，又否定结论.解(1)命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形；否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形.(2)命题的否定：若xy0，则x0且y0；否命题：若xy0，则x0且y0.(3)命题的否定：若x，y都是奇数，则xy不是奇数；否命题：若x，y不都是奇数，则xy不是奇数.点评首先掌握“命题的否定”和“否命题”的区别和联系，把握关键词的否定，然后分清命题的条件和结论即可.例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x24，则2x0且n0，则mn0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定.根据不等式及方程的性质逐个判断其真假.解(1)否命题：“若x24，则x2或x2”；命题的否定：“若x20且n0，则mn0”.由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3判断条件四策略1.定义法定义法是判断充要条件最基本、最适用的方法.步骤如下：(1)分清条件与结论(p与q)；(2)找推式：即判断pq及qp的真假；(3)下结论：p是q的充分不必要条件，p是q的必要不充分条件，p是q的充要条件，p是q的既不充分又不必要条件.例1设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“xPM”的_条件.解析条件p：xM或xP；结论q：xPM.若xM，则x不一定属于P，即x不一定属于PM，所以pq；若xPM，则xM且xP，所以qp.综上可知，“xM或xP”是“xPM”的必要不充分条件.答案必要不充分2.利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若pq，qr，则pr.例2如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的_条件.解析依题意知，有ABCD且ABCD，由命题的传递性可知DA，但AD.于是A是D的必要不充分条件.答案必要不充分3.集合法适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况.Pp，Qq，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：(1)若PQ，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若PQ，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；(3)若PQ，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；(4)PQ且QP，则p是q的既不充分又不必要条件.例3设p：(2x1)20)，q：(x1)(2x1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_.解析由题意得p：x1或x0，0m2.答案(0,24.等价法适用于“直接从正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断.常用的是逆否等价法.(1)綈q是綈p的充分不必要条件p是q的充分不必要条件；(2)綈q是綈p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件；(3)綈q是綈p的充要条件p是q的充要条件；(4)綈q是綈p的既不充分又不必要条件p是q的既不充分又不必要条件.例4给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的_条件.解析因为綈p是q的必要不充分条件，所以綈q是p的必要不充分条件，即p是綈q的充分不必要条件.答案充分不必要4充分必要条件知识交汇例析充分必要条件是逻辑关系的重要知识点，主要用来讨论条件和结论的关系，是理解或判断一个命题与其相关命题之间关系的重要工具，也是命题转化的主要依据.充分必要条件问题几乎可以融汇所有不同的数学知识，因此用途极为广泛.下面通过具体例子进行分析.1.与集合的交汇例1若集合A1，m2，B2,4，则“m2”是“AB4”的_条件.解析当m2时，集合A1,4，又B2,4，所以AB4.当AB4时，m24，m2或m2，所以“m2”是“AB4”的充分不必要条件.答案充分不必要2.与函数性质的交汇例2已知函数f(x)则“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的_条件.解析当a0时，易知f(x)在R上单调递增，因为当2a0时，01，所以当x1时，f(x)单调递增；当x1时，f(x)不一定单调递增，故“2a0”不是“f(x)在R上单调递增”的充分条件.当f(x)在R上单调递增时，则a0，所以“2a0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.答案必要不充分3.与不等式的交汇例3“1a0，所以2x2.又a1，所以221，所以“1a2”是“对任意正数x,2x1”的充分条件.对任意正数x,2x1，即21，解得a，所以“对任意正数x,2x1”不是“1a2”的必要条件.所以“1a2”是“对任意正数x,2x1”的充分不必要条件.答案充分不必要4.与平面向量的交汇例4若a，b为非零向量，则“函数f(x)(axb)2为偶函数”是“ab”的_条件.解析f(x)(axb)2a2x22abxb2.如果函数f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，由此求得ab0，即ab.反之，也成立.所以“函数f(x)(axb)2为偶函数”是“ab”的充要条件.答案充要5.与数列的交汇例5设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的_条件.解析由a1a2a3，即a1a1qa1q2，得a1(1q)0，a1(qq2)0时，q1；当a10时，0q”是“sinA”的_条件.解析在ABC中，当A且A时，sinA”不是“sinA”的充分条件.但当sinA时，A一定成立，所以“A”是“sinA”的必要不充分条件.答案必要不充分7.与立体几何的交汇例7已知E，F，G，H是空间四个点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的_条件.解析由空间点的位置关系知，E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件.答案充分不必要5命题和充要条件错误剖析1.考虑不周出错例1判断命题的真假：函数f(x)ax22x1只有一个零点，则a1.错解因为函数f(x)ax22x1只有一个零点，所以224(1)a0，即a1.所以该命题是真命题.剖析出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论.正解当a0时，函数f(x)为一次函数，此时函数只有一个零点；当a0时，函数f(x)ax22x1只有一个零点，所以224(1)a0，即a1.所以函数f(x)ax22x1只有一个零点，则a1或a0.故原命题为假命题.2.否命题否定错误例2写出命题“若m2n2a2b20，则实数m，n，a，b全为零”的否命题.错解否命题为：若m2n2a2b20，则实数m，n，a，b全不为零.剖析否命题是将原命题的条件和结论分别否定.错解是条件没有否定，而结论否定为“不全为零”，却错误地写为“全不为零”.正解该命题的否命题为：“若m2n2a2b20，则实数m，n，a，b不全为零”.3.判断充要条件时出错例3(1)设xR，则x2成立的必要条件有_.(填上所有正确的序号)x1；x3；x0.错解因为x3x2，所以x2的一个必要条件为x3.答案剖析错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者等价于ba；后者等价于“b是a的必要条件”，即ab.正解因为x2x1，所以x2的一个必要条件为x1.同理x2x0，所以x2的一个必要条件为x0.答案(2)命题p：“向量a与向量b的夹角为锐角”是命题q：“ab0”的_条件.错解若向量a与向量b的夹角为锐角，则cos0，即ab0；反之也成立，所以p是q的充要条件.答案充要剖析判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误.正解若向量a与向量b夹角为锐角，则cos0ab0；而当ab0时，0也成立，但此时a与b夹角不为锐角.故p是q的充分不必要条件.答案充分不必要6例析逻辑用语中的常见误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假：(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)A(AB).错解(1)，(2)，(3)，(4)都不是命题.剖析(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x2的值也不确定，故无法判断x20是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x20，所以x222，故可判断x220成立，故(2)为真命题.(3)若AB，则ABABAB；若AB，则ABAABB.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题.(4)A为AB的子集，故A(AB)成立，故(4)为真命题.正解(2)，(4)是命题，且都为真命题.误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a0，则ab0；(2)若a2b2，则ab.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题.剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断.正解(1)否命题：若a0，则ab0，是假命题；(2)否命题：若a2b2，则ab，是假命题.误区3用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例3(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，试写出pq.(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出pq.错解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形.剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“pq”，“pq”也都应是假命题.而上述解答中写出的两命题却都是真命题.错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件.正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形.误区4对含有一个量词的命题否定不完全例4已知命题p：存在一个实数x，使得x2x20，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2x20.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2x24，则x2；(2)p：可以被5整除的数末位是0；(3)p：能被8整除的数也能被4整除.错解(1)綈p：若2x4，则x2.(2)綈p：可以被5整除的数末位不是0.(3)綈p：能被8整除的数不能被4整除.剖析由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误.正解(1)綈p：存在x，使得若2x4，则x2.(2)綈p：存在可以被5整除的数末位不是0.(3)綈p：存在能被8整除的数不能被4整除.7解“逻辑”问题的三意识1.转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明.例1证明：若a2b22a4b30，则ab1.分析本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题.证明命题“若a2b22a4b30，则ab1”的逆否命题是“若ab1，则a2b22a4b30”.由ab1，得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命题的逆否命题是真命题，原命题也是真命题.故若a2b22a4b30，则ab1.例2已知p：x28x200，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题.解解不等式x28x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0.依题意pq，但qp，说明AB.于是有或解得01a2，即q真a2.由p或q为真命题，p且q为假命题知，命题p，q中必有一真一假.若p真q假，则无解；若p假q真，则1a2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围.3.反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法.例4设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_.AB对任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析画出表示AB的Venn图进行判断.解析画出Venn图，如图1所示，则AB存在xA，使得xB，故是假命题，是真命题.ABBA不成立的反例如图2所示.同理可得BAAB不成立.故是假命题.综上知，真命题的序号是.答案13
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