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20192020学年第二学期十校联合体高二期中联考 数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共4页，满分120分, 考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上一、 选择题： 本大题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若z32i4i，则z等于()A1i B13i C1i D13i2如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知a，b，c，则用向量a，b，c可表示向量等于()Aabc BabcCabc Dabc3设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A B C D4设则（ ）A都小于 B都大于C至少有一个不小于 D至少有一个不大于5 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ()6 已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.7设函数f (x)x34xa，0a2若f (x)的三个零点为x1，x2，x3，且x1x2x3，则 ()Ax12 Bx20 Cx31 Dx32第8题图ABCD8如图四边形，,.现将沿折起，当二面角的大小处于变化过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）A BC D二填空题： 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 已知向量，若，则_，若，则_。10已知是虚数单位, 若复数，则_，在复平面内所对应的点位于第_象限。11已知是不相等的正数，则的大小关系是_。12. 已知函数,则_,曲线在点处的切线倾斜角是_。13 已知函数，则的极大值为_，若在t，t1上不单调，则t的取值范围是_。14设点O为四面体ABCD外接球的球心，若|3，|4，则_。15设定义域为的单调函数，对任意的，都有，若是方程的一个解，且，则_。三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。16（本小题满分10分）（）已知x2y22xyi2i，求实数x、y的值；（）关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值17（本小题满分10分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求在上的最大值和最小值18（本小题满分10分）当n2，nN*时，设f(n)=.（）求f(2)、f(3)、f(4)的值；（）猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中点（）求证：直线A1B平面ADC1；（）求二面角C1ADC的余弦值；（）试问线段A1B1上是否存在点E，使直线AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置；若不存在，请说明理由20（本小题满分10分）已知函数.（）当时，讨论f (x)的单调性；（）若实数a满足，且函数g(x)4x33（b+4）x2+6(b2)x (bR) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极小值小于等于020192020学年第二学期十校联合体高二期中联考答案及评分标准一选择题（每小题4分，共32分）题号12345678答案BDDCDADD二填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）910 ，4 10 ， 11 12 , 13 . ， 14 151三解答题（共52分）16. （本小题满分10分）解（）x2y22xyi2i，-2分解得或-5分（）设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，-7分解得a11或a. -10分17.（本小题满分10分）解：（）-2分，-3分所以切线方程为：-4分（）所以时，函数单调递增；时，函数单调递减-6分所以-7分-9分因为，所以-10分18. （本小题满分10分）（） -1分 -2分 -3分（）猜想-5分证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立-6分(2)假设当nk(n2，nN*)时等式成立，即，-7分那么当nk1时，.当nk1时，等式也成立-9分根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立- 10分19. （本小题满分12分）（）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.新*课*标*第*一*网由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC的中点，所以OD为A1BC的中位线，所以A1BOD.因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.-4分（）解:由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得BA，BC，BB1两两垂直以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以(1，2,0)，1(2，2,1)设平面ADC1的法向量为n(x，y，z)，则有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的一个法向量为v(0,0,1)所以cosn，v.因为二面角C1ADC是锐二面角，所以二面角C1ADC的余弦值为.-8分（）解: 假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，1(1,0,1)因为AE与DC1成60角，所以|cos，1|，即，解得1或3(舍去)所以当点E为线段A1B1的中点时，AE与DC1成60角-12分20（本小题满分10分）（） -2分由，得，或当时，在上为增函数；- 3分当时， 在上为减函数；在、上为增函数；-4分当时， 在上为减函数；在、上为增函数；-5分（），又，从而的极小值点也是又-8分因为，故的极小值，即g(x)的极小值小于等于0-10分20192020学年第二学期十校联合体高二期中联考数学试卷细目表题号考查点参考指导意见、会考标准、考纲分值考查要求A了解 B理解C应用 D综合试题难度I容易II稍难III较难题目来源（原创或改编）选择题1 复数的减法4AI改编2空间向量的线性运算4AI改编3数学归纳法4AI改编4证明方法4BII新 课 标 改编5导数与单调性4BII改编6线面角4BII改编7三次函数的图像4BII改编8空间向量与线线角4CIII改编填空题9空间向量6AI改编10复数的乘除6AI改编11 证明方法4AI改编12复合函数的导数6BII改编13 函数的极值与单调性6BII改编14数量积的几何意义4CII改编15函数与导数4DIII改编16复数相等 10AI改编17函数与导数10BII改编18空间向量与立体几何10BII改编19数学归纳法12CII改编20函数与导数10DIII改编
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