2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第3讲 等差数列、等比数列学案 文

2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题2 数列 第3讲 等差数列、等比数列学案 文热点题型真题统计命题规律题型1：等差(比)数列的基本运算2018全国卷T17；2018全国卷T17；2017全国卷T172016全国卷T17；2016全国卷T17；2016全国卷T172015全国卷T7；2014全国卷T51.高考以“一大”或“两小”的命题形式出现，近三年以“一大”的形式出现.题型2：等差(比)数列的基本性质2015全国卷T5；2015全国卷T92.重点考查等差(比)数列的基本运算以及等差(比)数列的判定.题型3：等差(比)数列的判定与证明2018全国卷T17；2017全国卷T17；2015全国卷T131等差数列的通项公式及前n项和公式ana1(n1)d；Snna1d.2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1(q0)；Sn高考考法示例【例1】(1)(2018哈尔滨模拟)等比数列an中各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A9B15C18D30(2)(2018北京模拟)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a22，S99，则a8_.(1)D(2)0(1)由2S38a13a2得6a1a22a30，则有，解得因此S430.(2)由题意知解得d，a1.所以a8a17d0.(3)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.方法归纳等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，求出a1和d(q)后代入相应的公式计算.(3)注意整体思想，如在与等比数列前n项和有关的计算中，两式相除就是常用的计算方法，整体运算可以有效简化运算.对点即时训练1(2018合肥模拟)若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是()A20B36C24D72C由a2S34及a3S512得解得a4S78a124d24.故选C.2(2018邵阳模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A29 B31 C33 D36B设等比数列an的公比为q，因为a2a32a1，所以aq32a1，因为a4与2a7的等差中项为，所以a42a7，即a1q32a1q6，联立可解得a116，q，所以S531.题型2等差(比)数列的基本性质核心知识储备1若m，n，p，q，kN*，且mnpq2k，则在等差数列中amanapaq2ak，在等比数列中amanapaqa.2若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，仍为等差数列，其中m，k为常数3若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数，m0)，a，仍为等比数列4(1)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公比为qk.(2)等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则.高考考法示例【例2】(1)(2018长春模拟)已知等差数列an满足：a22，SnSn354(n3)，Sn100，则n等于()A7B8C9D10(2)(2018福州五校联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x27x120的两根，则的值为()A2 B4 C2 D4(3)(2018昆明模拟)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12()A40 B60 C32 D50(1)D(2)A(3)B(1)由SnSn354得an2an1an54.即3an154，所以an118.所以Sn10n100.因此n10.(2)a3，a15是方程x27x120的两根，a3a1512，a3a157，an为等比数列，又a3，a9，a15同号，a90，a92，a92.故选A.(3)由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，所以S9S616，S12S932，所以S12(S12S9)(S9S6)(S6S3)S332168460，故选B.方法归纳等差、等比数列性质的应用策略(1)项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题.(2)整体代入：计算时要注意整体思想，如求Sn可以将与a1an相等的式子整体代入，不一定非要求出具体的项。对点即时训练1(2018武汉模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35B由等比数列的性质知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a5a6)5log39510，故选B.2(2018烟台模拟)若an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n是()A2 016 B2 017 C4 032 D4 033C因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a2 0170成立的最大正整数n是4 032，故选C.题型3等差(比)数列的判定与证明核心知识储备1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为同一常数；(2)利用等差中项性质，即证明2anan1an1(n2)2证明an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明(nN*)为同一常数；(2)利用等比中项性质，即证明aan1an1(n2，an0)高考考法示例【例3】(2018日照模拟)已知数列an，bn满足a11，an11，bn，其中nN*.(1)求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式(2)设cn，求数列cncn2的前n项和Tn.思路点拨(1)(2)解(1)证明：bn1bn2，数列bn是公差为2的等差数列又b12，bn2(n1)22n，2n，解得an.(2)由(1)可得cn，cncn22，数列cncn2的前n项和为Tn2123.方法归纳判断或证明一个数列是等差(比)数列时应注意的问题(1)判断一个数列是等差(等比)数列，有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法.(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可.(3)aoal(2,n)an1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(4)证明a，b，c成等差数列，只需证明2bac；证明a，b，c成等比数列，只需证明b2ac(abc0).对点即时训练(2016全国卷)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.1(2014全国卷)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1)Bn(n1)C. D.A由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1)2(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B.3(2015全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，126，n6.4(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.5(2017全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列