2022年高考数学 专题52 反证法在证明题中的应用黄金解题模板

2022年高考数学 专题52 反证法在证明题中的应用黄金解题模板【高考地位】反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.【方法点评】类型一 证明“至多”或“至少”问题使用情景：证明“至多”或“至少”问题解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例1. 若正整数，且。求证：或中至少有一个成立。【答案】详见解析.【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。（2）已知，求证：. 类型二 证明“不可能”问题使用情景：证明“不可能”问题解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴【答案】详见解析.【解析】试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴然后得出矛盾。证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴设且由，得，解得与已知矛盾故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设归谬结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。【变式演练2】（）求证：当时， ；（）证明： 不可能是同一个等差数列中的三项. 类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题解题模板：第一步 首先假设命题不成立；第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；第三步 最后得出结论.例3.求证：方程的解是唯一的【答案】详见解析.【解析】试题分析：可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解假设这个方程的解不是唯一的，它还有解，则，则，即由假设，得，从而：当时，有；当时，有显然，与都矛盾，这说明假设不成立所以原方程的解是唯一的. 【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A自然数都是奇数B自然数都是偶数C自然数中至少有两个偶数D自然数中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D考点：反证法. 【高考再现】1. 【xx课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩故选D。【考点】合情推理【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。2. 【xx高考山东文数】观察下列等式：；照此规律，_【答案】 3. 【xx高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ） A大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】 4.【xx山东.理4】 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根【答案】【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.5. 【xx高考北京，理20】已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8（）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知， 和除以9的余数一样，若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，. ,或6，3，6，3.，或0，0，0，. ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，. ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【反馈练习】1【xx陕西名校五校联考】某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师不是福州人，也不是广州人.听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( )A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人【答案】D【解析】若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲全不对，乙全不对； 若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙全错；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对；故选择D.2【xx广西南宁摸底联考】甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C 3用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应该是A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除C. 不都能被5整除 D. 能被5整除【答案】B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“，如果可被整除，那么至少有1个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”，故选B.4【xx河北邢台市模拟】已知，求证，用反证法证明时，可假设；设为实数， ，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）A. 与的假设都错误 B. 与的假设都正确C. 的假设正确，的假设错误 D. 的假设错误，的假设正确【答案】C【解析】根据反证法的格式知，正确；错误，应该是与都小于，故选C.5设大于0，则3个数的值A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1【答案】C 6 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，若，且时，（1）证明：是的一个根；（2）试比较与的大小；（3）证明： 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）由的图象与轴有两个不同的交点，有两个不等实根，得出是的根，在根据根与系数的关系，即可证明是的一个根；（2）利用反证法，假设假设，又，得出，得出矛盾，即可得出；（3）由，得，（3）证明：由，得，又，二次函数的图象的对称轴方程为，即，又，考点：二次函数的性质及不等式关系的判定7【xx吉林乾安第七中学模拟】（1）用分析法证明：当， 时， ；（2）证明：对任意， ， ， 这个值至少有一个不小于.【解析】（1）要证不等式成立，只需证成立，即证： 成立，即证： 成立，即证： 成立，因为所以，所以原不等式成立.（2）假设这3个值没有一个不小于0，即则，（*）而.这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.8设， ，且.证明： 与不可能同时成立. 9. 已知是互不相等的实数，求证：由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点.【解析】假设三条抛物线都与轴有一个交点或无交点则，将上述三个式子相加得 配方得， 当且仅当时等号成立，又不全相等 ，这与矛盾 假设不成立，三条抛物线至少有一条与有两个不同的交点 .