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吉林省吉林市普通中学2020届高三数学第二次调研测试(1月)试题 理本试卷共22小题,共150分,共4页,考试时间120分钟。注意事项:1答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。4. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。1. 集合的子集的个数是A. B. C. D.2. 已知为虚数单位,复数满足,则复数在复平面内对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是A.数据中可能有异常值 B.这组数据是近似对称的 C.数据中可能有极端大的值 D.数据中众数可能和中位数相同4. “”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5. 对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据 :,下列函数模型中拟合较好的是 A. B. C. D. 6.已知实数满足线性约束条件,则的最小值为A.B.C. D. 7. 已知圆与抛物线的准线相切,则的值为A. B. C. D.8. 如图,正方体中,分别为所在棱的中点,则下列各直线中,不与平面平行的是A.直线 B.直线 C.直线 D.直线9. 我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在数书九章(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长求三角形面积,即. 若的面积,则等于A. B. C.或 D. 或10. 已知双曲线的焦距为. 点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是A. B. C. D.11. 已知,则A. B. C. D.12. 如图,在中,点分别为的中点,若,且满足,则等于A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请把答案填在答题卡中相应位置。13. 在空间直角坐标系中,则四面体的外接球的体积为_.14. 直线过圆的圆心,则的最小值是_.15. 若函数在区间上恰有个不同的零点,则正数的取值范围是_.16. 关于函数有下列四个命题:函数在上是增函数;函数的图象关于中心对称;不存在斜率小于且与数的图象相切的直线;函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有_. (写出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10分)已知数列是公比为正数的等比数列,其前项和为,满足,且成等差数列.(1)求的通项公式;(2)若数列满足,求的值.18. (12分)如图,三棱柱的侧棱垂直于底面,且,是棱的中点. (1)证明:;(2)求二面角的余弦值.19. (12分)已知中,角所对的边分别为,,且满足.(1)求的面积;(2)若求的最大值.20. (12分)为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下(单位:本).文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率;(3)假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为,其中,当的方差最大时,求的值,并求出此时方差的值.21. (12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.22. (12分)已知,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.
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