2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题1 三角函数、解三角形 第2讲 解三角形学案 文

2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题1 三角函数、解三角形 第2讲 解三角形学案 文热点题型真题统计命题规律题型1：利用正、余弦定理解三角形2018全国卷T16；2018全国卷T7；2018全国卷T112017全国卷T11；2017全国卷T16；2017全国卷T152016全国卷T4；2016全国卷T15；2015全国卷T171.高考对此部分的考查为“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”为主.2.小题出现在411或1516题的位置上，有成为压轴小题的趋势.题型2：正、余弦定理的综合应用2016全国卷T9；2015全国卷T17；2014全国卷T162014全国卷T173.解答题重点考查解三角形问题，出现在第17题位置上，难度中等.1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：cos A，b2c2a22bccos A.3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.高考考法示例角度一求解三角形中的边角问题【例11】(2016全国卷)(1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又，b.(2)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Acsin Casin Cbsin B.求B；若A75，b2，求a，c.解由正弦定理，得a2c2acb2.由余弦定理，得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1.cb2.角度二与三角形有关的面积问题【例12】(1)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_由bsin Ccsin B4asin Bsin C，得sinBsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，cos A，所以bc，所以SABCbcsin A.(2)(2018温州模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，b2a2c2.求tan C的值；若ABC的面积为3，求b的值；解由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，cos 2Bsin2C，又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2；由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，又sin Bsin(AC)sin，sin B，由正弦定理得cb，又A，bcsin A3，bc6，故b3.方法归纳1关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有b2c2和bc两项，二者的关系b2c2(bc)22bc经常用到 (教师备选)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.对点即时训练1(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4B.C. D2A因为cos ，所以cos C2cos2 1221.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故选A.2(2018绍兴模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得，sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin，由ab得，AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C；(2)由c，sin A，得a，由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以ABC的面积为Sacsin B.题型2正、余弦定理的综合应用全国卷考查解三角形问题常与平面几何交汇，题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等；地方卷常与平面向量交汇考查，解三角形还常与不等式，三角函数的性质交汇命题高考考法示例【例2】(1)(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则sin A()A.B.C.D.(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B，则tan B等于()A. B.1 C2 D2 (3)如图214，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米图214(1)D(2) D(3)400(1)如图，AD为ABC中BC边上的高设BCa，由题意知ADBCa，B，易知BDADa，DCa.在RtABD中，由勾股定理得，ABa.同理，在RtACD中，ACa.SABCABACsinBACBCAD，aasinBACaa，sinBAC.由得accos B，则cos B，又cos B，因此，即a2c2b21，故tan B2.(3)如题图，在ABD中，BD400米，ABD120.ADC150，ADB30，DAB1801203030由正弦定理，可得.，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理可得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的长为400米方法归纳1求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用2求解三角形与平面向量交汇问题的策略利用解三角形的知识解决平面向量问题是高考在知识的交汇处命制试题的一个热点解决这类试题的基本方法是根据正、余弦定理求出平面向量的模和夹角，从而达到利用解三角形求解平面向量数量积的目的对点即时训练1(2018长春模拟)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_由a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，故(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，又根据正弦定理，得(ab)(ab)(cb)c，化简得，b2c2a2bc，故cos A，所以A60，又b2c2bc4bc，故SBACbcsin A.2(2017山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b3，6，SABC3，求A和a.解因为6，所以bccos A6.又SABC3，所以bcsin A6.因此tan A1.又0A，所以A.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a29823229，所以a.1(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.C因为SABCabsin C，所以absin C由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C.故选C.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A.B.C.D.B因为a2，c，所以由正弦定理可知，故sin Asin C.又B(AC)，故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C为ABC的内角，故sin C0，则sin Acos A0，即tan A1.又A(0，)，所以A.从而sin Csin A.由A知C为锐角，故C.故选B.3(2014全国卷)如图215，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.图215150根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，MN100150(m)4(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.一、三角函数中的数学文化【例1】第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图1，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan_.图1思路点拨本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可解析依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin 5cos 1，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin cos )2，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案7体会领悟1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明.该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵.既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流，等等.二、三角函数与其它知识交汇创新预测1：三角函数与数列问题的交汇【例2】设ansin，nN*，Sna1a2an，则在S1，S2，S100中，正数的个数是()A16B72C86D100解析易知S10，S20，S30，S40，S50，S60，S70.S8sinsinsinsinsinsinsin0，S9sinsinsin0，S10sinsin0，S11sinsinsin0，S12sinsin0，S13sin0，S14sinsin0，S1，S2，S100中，S130，S140，S270，S280，S410，S420，S550，S560，S690，S700，S830，S840，S970，S980，共14个在S1，S2，S100中，正数的个数是1001486(个)【答案】C预测2：三角函数与方程问题的交汇【例3】已知一元二次方程x2xp0的两根是直角三角形ABC中两个锐角A，B的正弦值，则实数p_.解析由题意知AB，则sin Bcos A，又即则有12p2，解得p.答案预测3：解三角形与平面向量、不等式交汇【例4】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ac3，b3.(1)求cos B的最小值；(2)若3，求A的大小解(1)由余弦定理可得cos B11，当且仅当ac时，等号成立，此时cos B取得最小值.(2)因为3，所以accos B3.由(1)可得cos B1，所以ac6，cos B.故sin B.由ac3及ac6可解得a2或a.由正弦定理知.当a2时，sin Asin B1，所以A.同理，当a时，求得A.所以A的大小为或.体会领悟解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想.利用“数形结合”思想还可以解决以下问题：(1)讨论含有参数的方程解的个数问题.(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题.(3)求一些特殊函数的周期.(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等.三、规范答题解三角形满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第（1）问中只要写出就有分，第（2）问中求出就有分.（2）写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第（1）问中由正弦定理得；第(2)问由余弦定理得b2c2bc9.（3）计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如化简如果出现错误，本题的第（2）问就全错了，不能得分.