2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题1 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质学案 文

2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题1 三角函数、解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质学案 文热点题型真题统计命题规律题型1：三角恒等变换2018全国卷T4；2018全国卷T11；2018全国卷T152017全国卷T4；2017全国卷T151.重点考查三角函数图象的变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.题型2：三角函数的图象与解析式2016全国卷T6；2016全国卷T3；2016全国卷T142015全国卷T8题型3：三角函数的性质及应用2018全国卷T8；2018全国卷T10；2018全国卷T62017全国卷T3；2017全国卷T13；2017全国卷T62016全国卷T11；2014全国卷T142.主要以选择、填空题的形式考查，难度中等偏下.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3辅助角公式asin xbcos xsin(x).高考考法示例【例1】(1)(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()A.B.C.D1(2)(2018洛阳模拟)若sin，则cos2_.(3)(2018石家庄模拟)若cos(2)，sin(2)，0，则的值为_(1)B(2)(3)(1)由题可知tan ba，又cos 2cos2sin2，5(ba)21，得(ba)2，即|ba|，故选B.(2)由sin得cos12sin2122，则coscoscos.(3)因为cos(2)且2，所以sin(2).因为sin(2)且2，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2).因为，所以.方法归纳1三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦2解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小(教师备选)(2018佛山模拟)已知tan，则cos2()A. B. C. D.Btan，解得tan ，故cos2sin cos ，其中sin cos ，故sin cos .对点即时训练1(2018黄山模拟)若cos，则sin 2()A.B.CDD由cos得，sin 2cos2cos2121，故选D.2已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A. B. C. D.C由sin ，是锐角知cos ，由sin()，均为锐角知，0，从而cos().故cos cos()cos cos()sin sin()所以3(2018全国卷)已知tan，则tan _.法一：因为tan ，所以，即，解得tan .法二：因为tan，所以tan tan题型2三角函数的图象与解析式核心知识储备1“五点法”作图用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：x02xAsin(x)0A0A02.图象变换高考考法示例【例2】(1)(2018合肥模拟)函数ysin的图象可由函数ycosx的图象至少向右平移m(m0)个单位长度得到，则m()A1B.C.D.(2)(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图211所示，则f(x)的单调递减区间为()图211A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ(1)A(2)D(1)因为ysincoscos，所以只需将函数ycosx的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数ysin的图象(2)由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，得2kx0)的图象变换成ysin(x)的图象时，只需进行平移变换，应把x变换成，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向2函数yAsin(x)的解析式的确定方法(1)A由最值确定，A；(2)由周期确定；(3)由图象上的特殊点确定通常利用峰点、谷点或零点列出关于的方程，结合的范围解得的值，所列方程如下：峰点：x2k；谷点：x2k，利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点升零点(图象上升时与x轴的交点)：x2k；降零点(图象下降时与x轴的交点)：x2k.(以上kZ)对点即时训练1为了得到函数ysin的图象，可以将函数ycos 2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度Bycos 2xsin，ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得ysinsin的图象，故选B.2函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图212所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)的值为()图212A0B22C6DB由题图可得，A2，T8，8，f(x)2sinx.f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 01982523，f(1)f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)22.题型3三角函数的性质及应用核心知识储备1三角函数的奇偶性、对称性(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称点、横坐标可由xk(kZ)求得(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称点、横坐标可由xk(kZ)求得(3)yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数尤其注意其对称点横坐标可由x(kZ)求得2三角函数的最值函数类型求解方法yasin xbcos xc转化为ysin(x)c的最值问题yasin2xbsin xcos xccos2x转化为yAsin 2xBcos 2xC的最值问题yasin2xbsin xc换元法转化为二次函数的最值问题高考考法示例角度一三角函数的定义域、周期性及单调性的判断【例31】(1)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在0，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C.DC法一：f(x)cos xsin xcosx.当x0，a时，x，所以结合题意可知，a，即a，故所求a的最大值是.故选C.法二：f(x)sin xcos xsin.于是，由题设得f(x)0，即 sin0在区间0，a上恒成立当x0，a时，x，所以a，即a，故所求a的最大值是.故选C.(2)已知函数f(x)4tan xsincos.求f(x)的定义域与最小正周期；讨论f(x)在区间上的单调性解f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcosx4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.设A，B，易知AB，.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减角度二三角函数的最值问题【例32】(1)(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5 C6 D7Bf(x)12sin2x6sin x22，又sin x1,1，所以当sin x1时，f(x)有最大值5，故选B.(2)(2018青岛模拟)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.求；将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k，kZ.故6k2，kZ，又03，所以2.由得f(x)sin所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.角度三三角函数图象的对称性【例33】(1)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A.B.C.D.(2)将函数f(x)cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递增，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称(1)A(2)B(1)设f(x)cos xsin x2cos xsin x2sin，向左平移m个单位长度得g(x)2sin.g(x)的图象关于y轴对称，g(x)为偶函数，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值为.(2)由题意可得将f(x)cos 2x的图象向右平移个单位得到g(x)coscossin 2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C，又当x时函数值为0，当x时，函数值为，所以A和D中对称的说法不正确，选B.方法归纳函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.对点即时训练1(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B. C D2Cf(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T.故选C.2(2018沈阳模拟)已知f(x)2sin2x2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为()A2， B，C2， D，Bf(x)2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xsin1，则T.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，令k0得f(x)在上单调递减，故选B.3(2018哈尔滨模拟)若函数f(x)sin(2x)cos(2x)(0)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是()A1 BC DBf(x)2sin，又图象关于中心对称，所以2k，kZ，所以k，又0，所以，所以f(x)2sin 2x，因为x.所以2x，f(x)，2，所以f(x)的最小值是.1(2014全国卷)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x，ytan中，最小正周期为的所有函数为()ABC DCycos|2x|cos 2x，T.由图象知，函数的周期T.T.T.综上可知，最小正周期为的所有函数为.2(2016全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sinD函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.3(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4B易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.4(2016全国卷)函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象至少向右平移_个单位长度得到ysin xcos x2sin，函数ysin xcos x的图象可由函数y2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到5(2016全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tan.