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6.解析几何1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan (90)；倾斜角为90的直线没有斜率；斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率为k(x1x2)；直线的方向向量a(1，k)；应用：证明三点共线：kABkBC.问题1(1)直线的倾斜角越大，斜率k就越大，这种说法是_的(填正确或错误)(2)直线xcos y20的倾斜角的范围是_答案(1)错误(2)2直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为yy0k(xx0)，它不包括垂直于x轴的直线(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为ykxb，它不包括垂直于x轴的直线(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线(5)一般式：任何直线均可写成AxByC0(A，B不同时为0)的形式问题2已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_答案5xy0或xy603两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1l2k1k2，且b1b2；l1l2k1k21；l1与l2相交k1k2.(2)若已知直线的一般方程l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20，则l1l2平行A1B2A2B10，且B1C2B2C10或A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20；l1与l2相交A1B2A2B10；l1与l2重合A1B2A2B10且B1C2B2C10且A1C2A2C10.问题3设直线l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，当m_时，l1l2；当m_时，l1l2；当_时，l1与l2相交；当m_时，l1与l2重合答案1m3且m134点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为d.(2)两平行线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离为d.问题4两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_答案5圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，只有当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0才表示圆心为，半径为的圆问题5若方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则a_.答案16直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系来判定(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据的符号来判断问题6已知圆C：(xa)2(yb)2r2的圆心为抛物线y24x的焦点，直线3x4y20与圆C相切，则该圆的方程为_答案(x1)2y21解析因为抛物线y24x的焦点为(1,0)，所以a1，b0，又由直线3x4y20与圆C相切，得r1，所以该圆的方程为(x1)2y21.7圆锥曲线的定义和性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1PF22a(2aF1F2)|PF1PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形范围|x|a，|y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e(0e1)e1准线xxx通径ABAB2p渐近线yx问题7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析c2mm24，e25，m24m40，m2.8(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有惟一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2或P1P2 .(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于C(x1，y1)，D(x2，y2)，则焦半径CFx1；弦长CDx1x2p；x1x2，y1y2p2.问题8如图，斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为_答案解析设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知，a24，b21，c23，所以F(，0)，直线l的方程为yx.将其代入x24y24，化简整理，得5x28x80，解得x1，x2，所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2|.易错点1直线的倾斜角和斜率关系不清例1直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_易错分析本题易混淆和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围解析设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1,1，所以1tan 1，又0，)，所以0或b0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：OPOQ.易错分析解答本题第(2)问时需要考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解(1)解由题意，得，1，解得a26，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)解由题意得，直线l的斜率存在，椭圆C的右焦点为F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x)当k时，由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，所以PQ.因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为.根据椭圆的对称性，当切线方程为y(x)时，OPQ的面积也为.综上所述，OPQ的面积为.证明()若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x.当x时，P(，)，Q(，)因为0，所以OPOQ.当x时，同理可得OPOQ.()若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0.因为直线与圆相切，所以，即m22k22.将直线PQ的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24kmx2m260.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有x1,2，所以x1x2，x1x2.因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)kmm2.将m22k22代入上式可得0，所以OPOQ.综上所述，OPOQ.易错点5忽视0例5设过点A(0，2)的动直线l与y21相交于P，Q两点，O为坐标原点当OPQ的面积最大时，求直线l的方程易错分析本题通过弦长公式、面积公式等工具将OPQ的面积表示为关于变量k的函数解析式f(k)，再求函数最大值及相应的k值，此时需借助隐含条件直线与椭圆相交得到0进行验证解当lx轴时不合题意，故设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQdPQ.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，k时取等号，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.1(2018江苏淮安等四市模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2(y1)2r2(r0)上存在点P，且点P关于直线xy0的对称点Q在圆C2：(x2)2(y1)21上，则r的取值范围是_答案1，1解析C2关于直线xy0的对称圆C：(x1)2(y2)21，由题意，知圆C与圆C1有交点，所以r1r1，所以r的取值范围是1，12已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0,2)，则m的值是_答案5解析方程变形为1，焦点在y轴上，a22m，b26，又c2且a2b2c2，2m622，m5.3设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛物线的方程为_答案y28x或y216x解析当m0时，准线方程为x2，m8，此时抛物线方程为y28x；当m0时，准线方程为x4，m16，此时抛物线方程为y216x.所求抛物线方程为y28x或y216x.4已知双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_答案解析由题意求出双曲线中a3，b4，c5，则双曲线的渐近线方程为yx，不妨设直线BF的斜率为，可求出直线BF的方程为4x3y200，(*)将(*)式代入双曲线方程，解得yB，则SAFBAF|yB|(ca).5过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析椭圆1的右焦点F(1,0)，故直线AB的方程为y2(x1)，由消去y，整理得3x25x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1b0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_答案解析F(c,0)，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，(c，b)，(a，b)，B2FAB1，acb20，a2c2ac0，化为e2e10,0e1.解得e.8椭圆1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为_答案解析设点P的坐标为(x，y)，F1(，0)，F2(，0)，在PF1F2中，F1PF2为钝角，0，即(x，y)(x，y)0，即x2y250.1，10，x.9在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y2b2经过椭圆E：1(0b2)的焦点(1)求椭圆E的标准方程；(2)记直线l：ykxm交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M(1,0)，N(1,0)，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m22k21时，求k1k2的值解(1)因为0bb0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y于点Q，求的值解(1)由题意得，c1，a2b2c2，解得a，c1，b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)由题意知，OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，OP，OQ，所以1，当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为ykx，由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以OP2.因为OPOQ，所以直线OQ的方程为yx，由得xk，所以OQ22k22，所以1.综上可知，1.14
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