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专题四 解析几何析考情明重点小题考情分析大题考情分析常考点1.双曲线的渐近线、离心率及焦点问题(5年4考) 2.椭圆的离心率问题，椭圆与直线、双曲线的综合问题(5年3考)直线与圆锥曲线解答题是高考的热点也是重点部分，主要涉及以下两种考法：(1)直线与椭圆有关范围、最值的综合问题；(2)直线与抛物线有关范围、最值的综合问题.偶考点1.圆与不等式的交汇问题2.抛物线的焦点、准线问题第一讲 小题考法直线与圆考点(一)直 线 的 方 程主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.典例感悟典例(1)已知直线l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，则实数a的值为()AB0C或0 D2(2)已知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D.(3)过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点P(0,4)距离为2的直线方程为_.解析(1)由l1l2得1(a)2a(a1)，即2a23a0，解得a0或a.经检验，当a0或a时均有l1l2，故选C.(2)易知BC所在直线的方程是xy1，由消去x，得y，当a0时，直线yaxb与x轴交于点，结合图形(图略)知，化简得(ab)2a(a1)，则a.a0，0，解得b.考虑极限位置，即当a0时，易得b1，故b的取值范围是.(3)由得l1与l2的交点为(1,2)当所求直线斜率不存在，即直线方程为x1时，显然不满足题意当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y2k(x1)，即kxy2k0，点P(0,4)到直线的距离为2，2，k0或k.直线方程为y2或4x3y20.答案(1)C(2)B(3)y2或4x3y20方法技巧解决直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意演练冲关1已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a,1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab()A4 B2 C0 D2解析：选B由题知，直线l的斜率为1，则直线l1的斜率为1，所以1，所以a4.又l1l2，所以1，b2，所以ab422，故选B.2(2018浙江名师预测卷)“m1”是“直线l1：mx(2m1)y10与直线l2：3xmy30垂直”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若直线l1：mx(2m1)y10与直线l2：3xmy30垂直，则3mm(2m1)0，即2m(m1)0，解得m0或m1，则“m1”是“直线l1：mx(2m1)y10与直线l2：3xmy30垂直”的充分不必要条件故选A.3若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A. B. C. D.解析：选B由l1l2，得(a2)a13，且a2a36，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2间的距离为d.考点(二)圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.典例感悟典例(1)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C. D.(2)(2018广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x24y的焦点，且该圆与直线yx3相切，则该圆的标准方程是_解析(1)设ABC外接圆的一般方程为x2y2DxEyF0，ABC外接圆的一般方程为x2y22xy10，圆心为，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .(2)抛物线x24y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2(y1)2r2(r0)，因为该圆与直线yx3，即xy30相切，所以r，故该圆的标准方程是x2(y1)22.答案(1)B(2)x2(y1)22方法技巧圆的方程的2种求法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数演练冲关1圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：选D圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线yx对称的点的坐标即可设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则解得所以圆(x2)2y24的圆心关于直线yx对称的点的坐标为(1，)，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24，故选D.2已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：选A根据题意，直线xy10与x轴的交点坐标为(1,0)，即圆心为(1,0)因为圆C与直线xy30相切，所以半径r，则圆C的方程为(x1)2y22，故选A.3圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为_解析：设圆心坐标为(a，b)，半径为r.由已知又圆心(a，b)到y轴、x轴的距离分别为|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.综上，解得a2，b1，r2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24考点(三)直线(圆)与圆的位置关系主要考查直线(圆)与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决参数问题或与圆有关的轨迹问题.典例感悟典例(1)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切 D相离(2)(2018丽水、衢州、湖州高三联考)已知直线l1：2xy10，直线l2：4x2ya0，圆C：x2y22x0.若圆C上任意一点P到两直线l1，l2的距离之和为定值2，则实数a_.解析(1)由题知圆M：x2(ya)2a2(a0)，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2，即圆M的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M，圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1，半径之和为3,13，故两圆相交(2)由题可知l1l2，若圆C上任意一点到两直线的距离之和为定值2，则两平行线之间的距离为2，且位于圆的两侧因为直线l1：2xy10，直线l2：2xy0，所以l1与l2之间的距离d2，解得a18或a22，当a22时，两条直线在圆的同侧，此时圆C上的点到两直线的距离之和大于2，舍去，故a18.答案(1)B(2)18方法技巧1直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算2直线截圆所得弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)(2)根据公式：l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解演练冲关1如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y2x1与圆x2y24相交于A，B两点，则cosAOB()ABC D解析：选D因为圆x2y24的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y2x1的距离d，所以弦长|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.2(2018浙江名师预测卷)已知圆C的方程为x2y21，直线l的方程为xy2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45的直线，交l于点A，则|PA|的最小值为()A. B1C.1 D2解析：选D由题意可知，直线PA平行于坐标轴，或与坐标轴重合不妨设直线PAy轴，设P(cos ，sin )，则A(cos ，2cos )，|PA|2cos sin |2sin(45)|，|PA|的最小值为2.故选D.3已知动圆C过A(4,0)，B(0，2)两点，过点M(1，2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为_解析：依题意得，动圆C的半径不小于|AB|，即当圆C的面积最小时，AB是圆C的一条直径，此时圆心C是线段AB的中点，即点C(2，1)，又点M的坐标为(1，2)，且|CM|0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)4直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交，0相离，0相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离，dr相切5圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则(1)当|O1O2|r1r2时，两圆外离；(2)当|O1O2|r1r2时，两圆外切；(3)当|r1r2|O1O2|r1r2时，两圆相交；(4)当|O1O2|r1r2|时，两圆内切；(5)当0|O1O2|r1r2|时，两圆内含(二) 二级结论要用好1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.针对练1若直线l1：mxy80与l2：4x(m5)y2m0垂直，则m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12若点P(x0，y0)在圆x2y2r2上，则圆过该点的切线方程为：x0xy0yr2.针对练2过点(1，)且与圆x2y24相切的直线l的方程为_解析：点(1，)在圆x2y24上，切线方程为xy4，即xy40.答案：xy40(三) 易错易混要明了1易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P(x0，y0)的直线设为yy0k(xx0)等针对练3已知直线过点P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_解析：当截距为0时，直线方程为5xy0；当截距不为0时，设直线方程为1，代入P(1,5)，得a6，直线方程为xy60.答案：5xy0或xy602讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20垂直的充要条件A1A2B1B20，就可以避免讨论针对练4已知直线l1：(t2)x(1t)y1与l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，则t的值为_解析：l1l2，(t2)(t1)(1t)(2t3)0，解得t1或t1.答案：1或13求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解针对练5两平行直线3x2y50与6x4y50间的距离为_解析：把直线6x4y50化为3x2y0，故两平行线间的距离d.答案：4易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解针对练6已知两圆x2y22x6y10，x2y210x12ym0相切，则m_.解析：由x2y22x6y10，得(x1)2(y3)211，由x2y210x12ym0，得(x5)2(y6)261m.当两圆外切时，有，解得m2510；当两圆内切时，有，解得m2510.答案：2510 A组107提速练一、选择题1已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0B.C.或0 D.或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C(0,1)到直线l的距离d1，解得k0或k，故选D.2(2018宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l过圆(x1)2(y2)21的圆心，当原点到直线l距离最大时，直线l的方程为()Ay2 Bx2y50Cx2y30 Dx2y50解析：选D设圆心为M，则M(1,2)当l与OM垂直时，原点到l的距离最大作出示意图如图，kOM2，l的斜率为.直线l的方程为y2(x1)，即x2y50.3直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“|AB|”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，注意到|AB|等价于圆心O到直线l的距离等于，即有，k1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要条件4若三条直线l1：4xy3，l2：mxy0，l3：xmy2不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A2个 B3个 C4个 D6个解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点若l1l2，则m4；若l1l3，则m；若l2l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m1或.故实数m的取值最多有4个，故选C.5(2018温州模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a()A. B.C1 D.解析：选B设直线AC的倾斜角为，直线AB的倾斜角为，即有tan tan 2.又tan ，tan ，所以，解得a.6与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：选D由题意知，曲线方程为(x6)2(y6)2(3)2，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆的圆心必在直线yx上，又圆心(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x2)2(y2)22.7(2018长沙模拟)若直线(21)x(2)y20(R)被圆C：(x1)2y24所截得的弦为MN，则|MN|的最小值是()A. B2C2 D4解析：选C直线方程(21)x(2)y20(R)可化为(2xy1)(x2y2)0(R)，若则所以直线恒过圆C：(x1)2y24内的定点P(0，1)，当直线(21)x(2)y20(R)与直线CP垂直时，|MN|最小，此时|MN|222.故选C.8(2018合肥质检)设圆x2y22x2y20的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|2，则直线l的方程为()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：选B由题可知，圆心C(1,1)，半径r2.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，计算出弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx3，由弦长为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有1，解得k，所以直线l的方程为yx3，即3x4y120.综上，直线l的方程为x0或3x4y120，故选B.9两个圆C1：x2y22axa240(aR)与C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为()A3 B3C6 D6解析：选B两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24，圆C2：x2(yb)21，所以C1(a,0)，C2(0，b)，213，即a2b29.由2，得(ab)218，所以3ab3，当且仅当“ab”时等号成立所以ab的最小值为3.10若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：选A设直线4x3ym0与直线4x3y20之间的距离为1，则有1，m3或m7.圆心(3，5)到直线4x3y30的距离等于6，圆心(3，5)到直线4x3y70的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11直线l：xy230(R)恒过定点_，P(1，1)到直线l的距离的最大值为_解析：直线l：xy230(R)，即(y3)x20，令解得直线l恒过定点(2,3)不妨记Q(2,3)，则P(1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ|.答案：(2,3)12若直线l1：yxa和直线l2：yxb将圆(x1)2(y2)28分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析：由题意得直线l1和l2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90，因此圆心到两直线的距离均为r2，即2，得a2b2(21)2(12)218.答案：1813已知点M(2,1)及圆x2y24，则过M点的圆的切线方程为_，若直线axy40与该圆相交于A，B两点，且|AB|2，则a_.解析：若过点M的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x2，经验证满足条件若切线斜率存在，可设切线方程为yk(x2)1，由圆心到直线的距离等于半径得2，解得k，故切线方程为y(x2)1，即3x4y100.综上，过M点的圆的切线方程为x2或3x4y100.由，得a.答案：x2或3x4y10014已知C的方程为x22xy20，直线l：kxyx2k0与C交于A，B两点，当|AB|取最大值时，k_；当ABC的面积最大时，k_.解析：圆的方程可化为(x1)2y21，圆心C(1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB为直径，|AB|最大，此时k1.设ACB，则SABC11sin sin ，当90时，ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为，由d，解得k0或k6.答案：10或615已知圆O：x2y2r2与圆C：(x2)2y2r2(r0)在第一象限的一个公共点为P，过点P作与x轴平行的直线分别交两圆于不同两点A，B(异于P点)，且OAOB，则直线OP的斜率是_，r_.解析：两圆的方程相减得，4x40，则点P的横坐标x1.易知P为AB的中点，因为OAOB，所以|OP|AP|PB|，所以OAP为等边三角形，所以APO60，因为ABx轴，所以POC60，所以直线OP的斜率为.设P(1，y1)，则y1，所以P(1，)，代入圆O，解得r2.答案：216(2018浦江模拟)设A是直线yx4上一点，P，Q是圆C：x2(y2)217上不同的两点，若圆心C是APQ的重心则APQ面积的最大值为_解析：如图，圆心C是APQ的重心，ACPQ，设C到PQ的距离为x，则PQ2，则A到PQ的距离为3x，SPAQ23x3x3.当且仅当x，即x时等号成立APQ面积的最大值为.答案：17定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合(x，y)|0；(x，y)|xy|6；(x，y)|0x2(y)21其中是开集的是_(请写出所有符合条件的序号)解析：集合(x，y)|0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：选C当|时，O，A，B三点为等腰三角形AOB的三个顶点，其中OAOB2，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，即1，解得k；当k时，|，又直线与圆x2y24有两个不同的交点，故2，即k0)设条件p：0r1，即0r1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2r1，即r1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当02r1，即1r2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2r0，即r2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0r21，即2r1，即r3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0r3时，圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1；由圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1可得0rb0)，而抛物线y24x的焦点为(1,0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.故选A.答案(1)A(2)A方法技巧1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)注意应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22px或x22py(p0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)演练冲关1已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，渐近线方程为2xy0，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A易知双曲线1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得2，因为双曲线的焦距为4，所以c2.结合c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为1.2(2018杭二中高三期中)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的直线l：yx4与双曲线C只有一个公共点，则双曲线C的焦距为_，C的离心率为_解析：双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，因为过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的直线l：yx4与双曲线C只有一个公共点，所以又因为a2b2c2，所以a2，b2，c4，所以2c8，e2.答案：823已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|_.解析：法一：令l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|.设P(x0，y0)，则x0，代入x24y中，得y0，所以|PF|PA|y01.法二：如图所示，AFO30，PAF30，又|PA|PF|，APF为顶角APF120的等腰三角形，而|AF|，|PF|.答案：考点(二)圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.典例感悟典例(1)(2018浙江名师预测卷)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x(2)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_解析(1)因为抛物线C的方程为y22px(p0)，所以焦点F.设M(x，y)，由抛物线的性质可得|MF|x5，所以x5.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为，又由已知可得圆的半径也为，故可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，所以M.将点M的坐标代入抛物线方程，得p210p160，所以p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x，故选C.(2)双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，则圆心A到此渐近线的距离d.又因为MAN60，圆的半径为b，所以bsin 60，即，所以e.答案(1)C(2)方法技巧1椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用渐近线方程设所求双曲线的方程演练冲关1已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线的夹角为60，则双曲线C的离心率为()A. B.C.或 D.或2解析：选D两条渐近线的夹角为60，且两条渐近线关于坐标轴对称，tan 30或tan 60.由，得e21，e(舍负)；由，得e213，e2(舍负)故选D.2(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析：选A当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)3如图，抛物线y24x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为点E，G，则|EG|的最小值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y32y1，y4y2，|EG|y4y3y22y1.因为AB为抛物线y24x的焦点弦，所以y1y24，所以|EG|y22y224，当且仅当y2，即y24时取等号，所以|EG|的最小值为4.答案：4考点(三)圆锥曲线与圆、直线的综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.典例感悟典例(1)已知直线ykxt与圆x2(y1)21相切且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)(2)已知双曲线C：mx2ny21(mn0，解得t0或t3.故选A.(2)圆x2y26x2y90的标准方程为(x3)2(y1)21，则圆心为M(3,1)，半径r1.当m0时，由mx2ny21得1，则双曲线的焦点在y轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为yx，即axby0，则圆心到直线的距离d1，即|3ab|c，平方得9a26abb2c2a2b2，即8a26ab0，则ba，平方得b2a2c2a2，即c2a2，则ca，离心率e；当m0，n0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|，若直线PF1与圆x2y2a2相切，则双曲线的离心率为()A.B.C2 D3解析：选B取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|F1F2|，则AF2PF1，直线PF1与圆x2y2a2相切，|AF2|2a，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a2c，|PA|PF1|ac，则在RtAPF2中，4c2(ac)24a2，化简得(3c5a)(ac)0，则双曲线的离心率为.2已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM与直线l的斜率之积为()A9 BC D3解析：选A设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb，故直线OM的斜率kOM，所以kOMk9，即直线OM与直线l的斜率之积为9. (一) 主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1渐近线yx(二) 二级结论要用好1椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)，点P的坐标是(x0，y0)(1)三角形的三个边长是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e为椭圆的离心率(2)如果PF1F2中F1PF2，则这个三角形的面积SPF1F2c|y0|b2tan .(3)椭圆的离心率e.2双曲线焦点三角形的2个结论P(x0，y0)为双曲线1(a0，b0)上的点，PF1F2为焦点三角形(1)面积公式SPF1F2c|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)(2)焦半径若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a.3抛物线y22px(p0)焦点弦AB的4个结论(1)xAxB；(2)yAyBp2；(3)|AB|(是直线AB的倾斜角)；(4)|AB|xAxBp.4圆锥曲线的通径(1)椭圆通径长为；(2)双曲线通径长为；(3)抛物线通径长为2p.5圆锥曲线中的最值(1)椭圆上两点间的最大距离为2a(长轴长)(2)双曲线上两点间的最小距离为2a(实轴长)(3)椭圆焦半径的取值范围为ac，ac，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离(4)抛物线上的点中顶点到抛物线准线的距离最短(三) 易错易混要明了1利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支针对练1ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是_解析：如图，设内切圆的圆心为P，过点P作AC，BC的垂线PD，PF，垂足分别为D，F，则|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，|CA|CB|AD|BF|6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案：1(x3)2解决椭圆、双曲线、抛物线问题时，要注意其焦点的位置针对练2若椭圆1的离心率为，则k的值为_解析：当焦点在x轴上时，a28k，b29，e2，解得k4.当焦点在y轴上时，a29，b28k，e2，解得k.答案：4或3直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式0的限制尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式0”；在解决交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“0”下进行 A组107提速练一、选择题1(2018浙江高考)双曲线y21的焦点坐标是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：选B双曲线方程为y21，a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上，c2，即得该双曲线的焦点坐标为(2,0)，(2,0)2双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，则它的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A由双曲线C：1(a0，b0)的离心率e，可得，1，可得，故双曲线的渐近线方程为yx.3(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由圆心到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .4(2018温州适应性测试)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C因为双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以00，b0)经过第一、三象限的渐近线的方程为yx，设其倾斜角为，则tan ，又，所以，故选C.5(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MNl，则M到直线NF的距离为()A. B2C2 D3解析：选C由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直线FM的倾斜角，即NMF60，因此MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为42.6已知F1，F2分别是椭圆
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