2022高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题练习 理

2022高考数学一轮复习 第9章 解析几何 专题研究4 圆锥曲线中的探索性问题练习 理1(2018重庆一中期中)当曲线y与直线kxy2k40有两个不同的交点时，实数k的取值范围是()A(0，)B(，C(，1 D(，)答案C解析曲线y表示圆x2y24的下半部分，直线kxy2k40过定点(2，4)由2，解得k，所以过点(2，4)且斜率k的直线yx与曲线y相切，如图所示过点(2，4)与点(2，0)的直线的斜率为1.所以曲线y与直线kxy2k0有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(，1故选C.2设抛物线x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则()AxAxB2xM BxAxBxM2C. D以上都不对答案A解析由x22py得y，所以y，所以直线MA的方程为y2p(xxM)，直线MB的方程为y2p(xxM)，所以2p(xAxM)，2p(xBxM)，由可得xAxB2xM，故选A.3(2016浙江，文)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_答案(2，8)解析由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2x轴时，|PF1|PF2|有最大值8；当P为直角时，|PF1|PF2|有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)4已知圆C的半径为2，圆心在直线yx2上，E(1，1)，F(1，3)，若圆上存在点Q，使|QF|2|QE|232，则圆心的横坐标a的取值范围为_答案3，1解析根据题意，可设圆C的方程为(xa)2(ya2)24，设Q(x，y)，由|QF|2|QE|232，得到(x1)2(y3)2(x1)2(y1)232，得y3，故点Q在直线y3上，又点Q在圆(xa)2(ya2)24上，所以圆C与直线y3必须有公共点因为圆心的纵坐标为a2，半径为2，所以圆C与直线y3有公共点的充分条件是1a25，即3a1.所以圆心的横坐标a的取值范围是3，15(2018江西红色七校二模)已知椭圆的焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线l的方程；若不存在，请说明理由答案(1)1(2)存在，最大值为解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，由焦点坐标可得c1，由|PQ|3，可得3.又a2b21，解得a2，b，故椭圆方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y10，y20，得|k|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|EA|EB|，()0.又(x1x2，k(x1x2)42t)，(x2x1，k(x2x1)，(x2x1，k(x2x1)(x1x2，k(x1x2)42t)0，展开化简，得(1k2)(x1x2)4k2kt0，将x1x2代入化简，得t，又|k|，t(，0)综上，存在符合题意的点E，且实数t的取值范围为(，07(2018贵州贵阳考试)已知抛物线E：y24x的焦点为F，准线为l，准线l与x轴的交点为P，过点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A，B.(1)若|AF|BF|8，求线段AB的中点Q到准线的距离；(2)E上是否存在一点M，满足？若存在，求出直线m的斜率；若不存在，请说明理由答案(1)4(2)不存在解析(1)由抛物线E的方程为y24x，可得F(1，0)，准线l：x1，P(1，0)过点A作AAl，过点B作BBl，垂足分别为A，B.由抛物线的定义得|AF|AA|，|BF|BB|，由|AF|BF|8得|AA|BB|8.过AB的中点Q作QQl，垂足为Q，故QQ是直角梯形AABB的中位线，|QQ|4，即线段AB的中点Q到准线的距离为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则(x11，y1)(x21，y2)(x1x22，y1y2)(x1，y)，故即设直线m的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，(2k24)24k41616k20，x1x2.x1，x.y1y2k(x1x2)2kk2k.y.M(，)点M在抛物线上，()24，即4，此方程无解不存在满足条件的点M.8(2018吉林普通中学第一次调研)如图，已知椭圆E：1(0b0，所以x1x2，x1x2.从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)123.所以当2时，237，即7为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB即直线CD.此时2347.故存在常数2，使得为定值7.1已知抛物线y22px(p0)，O是坐标原点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则使得POF是直角三角形的点P共有()A0个 B2个C4个 D6个答案B解析当OFP为直角时，作出图形如图所示，过焦点F作PFx轴，交抛物线于点P，P，则OFP，OFP都是直角三角形显然POF不可能为直角若OPF90，易知F(，0)，设P(，y)，可得(，y)，(，y)，()y2.0，0，0，cosOPF0，OPF为锐角，不可能为直角综上，使得POF是直角三角形的点P有且有2个2(2018江苏盐城中学摸底)命题p：已知椭圆1(ab0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(a0，b0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_答案内角平分线a解析F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2外角的平分线的垂线，垂足为M，点F2关于F1PF2的外角平分线PM的对称点Q在F1P的延长线上，|F1Q|PF1|PF2|2a(椭圆长轴长)，又OM是F2F1Q的中位线，故|OM|a.不妨设点P在双曲线右支上，当过F2作F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M时，点F2关于F1PF2的内角平分线PM的对称点Q在PF1上，|F1Q|PF1|PF2|2a，又OM是F2F1Q的中位线，故|OM|a.3(2018海南海口三模)已知椭圆C：y21(a1)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，P为椭圆C上任意一点，且的最小值为0.(1)求椭圆C的方程；(2 )若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由答案(1)y21(2)略解析(1)设P(x，y)，则有(xc，y)，(xc，y)，x2y2c21c2，xa，a，由的最小值为0，得1c20，c1，a22，椭圆C的方程为y21.(2)当直线l1，l2斜率存在时，设其方程分别为ykxm，ykxn，把l1的方程代入椭圆方程得(12k2)x24mkx2m220.直线l1与椭圆C相切，16k2m24(12k2)(2m22)0，化简得m212k2，同理，n212k2，m2n2.若mn，则l1，l2重合，不合题意，mn.设在x轴上存在点B(t，0)，点B到直线l1，l2的距离之积为1，则1，即|k2t2m2|k21，把12k2m2代入并去绝对值，整理得k2(t23)2或k2(t21)0，前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的kR恒成立，则t210，解得t1.当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为x和x，定点(1，0)或(1，0)到直线l1，l2的距离之积为(1)(1)1，综上所述，满足题意的定点B为(1，0)和(1，0)4(2018吉林一中二模)已知抛物线C：y22px(p0)与直线xy40相切(1)求该抛物线的方程；(2)在x轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由答案(1)y28x(2)略解析(1)联立方程，有消去x，得y22py8p0，由直线与抛物线相切，得8p232p0，解得p4.所以抛物线的方程为y28x.(2)假设存在满足条件的点M(m，0)(m0)直线l：xtym，由得y28ty8m0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1y28t，y1y28m.|AM|2(x1m)2y12(t21)y12，|BM|2(x2m)2y22(t21)y22.，当m4时，为定值，所以M(4，0)5(2018浙江温州第一次考试)如图，动圆C过点F(1，0)，且与直线x1相切于点P.(1)求圆C的轨迹的方程；(2)过点F任作一直线交轨迹于A，B两点，设PA，PF，PB的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由答案(1)y24x(2)定值为2解析(1)由题意，圆心C到点F(1，0)的距离与到直线x1的距离相等由抛物线的定义，可知圆心C的轨迹是以F(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，其中1，所以p2.故圆心C的轨迹的方程是y24x.(2)设直线AB的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程，得整理得y24my40，则y1y24m，y1y24.设P(1，t)，则k1，k3，k2.k1k3t，则2，故为定值，定值为2.