2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题4 立体几何 第6讲 空间几何体的三视图、表面积和体积学案 文

2022高考数学“一本”培养专题突破 第2部分 专题4 立体几何 第6讲 空间几何体的三视图、表面积和体积学案 文热点题型真题统计命题规律题型1：空间几何体的三视图与表面积或体积2018全国卷T9；2018全国卷T3；2017全国卷T62016全国卷T7；2016全国卷T10；2015全国卷T112015全国卷T6；2014全国卷T8；2014全国卷T61.高考对此内容的考查，常以“二小一大”或“一小一大”的形式呈现.2.小题重点考查几何体的三视图或表面积与体积或球与几何体的切接问题.3.几何体的体积或点到平面的距离.题型2：根据空间几何体的结构特征计算表面积或体积2018全国卷T5；2018全国卷T18；2018全国卷T102018全国卷T16；2018全国卷T12；2017全国卷T182017全国卷T18；2017全国卷T19；2016全国卷T182016全国卷T19；2016全国卷T19；2015全国卷T62015全国卷T18；2015全国卷T19；2014全国卷T192014全国卷T7；2014全国卷T18题型3：球与几何体的切接问题2017全国卷T16；2017全国卷T15；2017全国卷T92016全国卷T7；2016全国卷T4；2016全国卷T112015全国卷T101柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧ch(c为底面周长，h为高)；(2)S锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；(3)S台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)2柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台(SS)h(不要求记忆)3球的表面积和体积公式(1)S球表4R2(其中R为球的半径)；(2)V球R3(其中R为球的半径)高考考法示例角度一空间几何体的三视图【例11】(1)(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图241摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图241A由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形角度二根据三视图计算空间几何体的表面积或体积【例12】(1)(2018黄山模拟)一个几何体的三视图如图242所示，则该几何体的体积为()图242A4B4C4D.(2)(2018广州模拟)如图243，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()图243A1836 B5418C90 D81(1)C(2)B(1)由三视图可知该几何体为四棱锥PABCD，其中PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD2，BC4，ADAB，AP2，AB2，该几何体的体积V224.故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633)25418.故选B.方法归纳根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解对点即时训练1(2018烟台模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图244所示，则该几何体的侧视图为 ()图244B先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图所示，故其侧视图如图所示故选B.2(2018江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图245所示，则该几何体的表面积是()图245A48B48C482 D482A该几何体是正四棱柱中挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S2222451221248，故选A.题型2根据空间几何体的结构特征计算表面积或体积全国卷考查解答题多设两问，第(1)问考查位置关系的证明，第(2)问考查空间几何体体积的求法或点到平面距离的求法高考考法示例【例2】(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8 D10B因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212. (2)(2016全国卷)如图246，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点图246证明MN平面PAB；求四面体NBCM的体积思路点拨解证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.方法归纳求解几何体的表面积及体积的技巧1求几何体的表面积及体积问题， 可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上2求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解(教师备选)(2017全国卷)如图247，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积图247解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)如图，在平面PAD内作PEAD，垂足为E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，可得PE平面ABCD.设ABx，则由已知可得ADx，PEx.故四棱锥PABCD的体积VPABCDABADPEx3.由题设得x3，故x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin 6062.对点即时训练1(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8B6C8D8C如图，连接BC1，因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.2(2018沈阳模拟)在如图248所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2，Q是AD的中点图248(1)求证：直线AE平面FQC；(2)求点E到平面FQC的距离解(1)四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，EFABDC且EFABDC，四边形DCEF是平行四边形连接DE交FC于P，连接PQ，则P是DE中点Q是AD的中点，PQ是AED的中位线，PQAE，又AE在平面FQC外，PQ在平面FQC内，直线AE平面FQC，(2)由(1)知直线AE平面FQC，故E，A到平面FQC等距离，下面求A到平面FQC的距离，设这个距离是x.由平面ABCD平面ABEF，FAAB，知FA平面ABCD，考虑三棱锥FAQC的体积：VFAQCVAFQC.因正方形边长为2，所以VFAQCFASAQC21.在RtDQC中求得QC；在RtAQF中求得FQ，在RtFAC中求得FC2.于是可得FQC的面积为，由VFAQCVAFQC得，x，解得x.故点E到平面FQC的距离为.题型3球与几何体的切接问题核心知识储备1多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2a2b2c2求解2球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2Ra；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2Ra；三是球外接于正方体，此时2Ra.高考考法示例【例3】(1)(2018南昌模拟)一个几何体的三视图如图249所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()图249A.B.C.D.(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC1，BAC60，AA12，则该三棱柱的外接球的体积为()A. B. C. D20(3)(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54(1)D(2)B(3)B(1)由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥SABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS2，HAHBHC2，故H为ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.设球的半径为R，则球心O到ABC外接圆的距离为OH|SHOS|2R|，由球的截面性质可得ROB，解得R，所以所求外接球的表面积为4R24.故选D.(2)设A1B1C1的外心为O1，ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点在ABC 中， 由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC3212231cos 607，所以BC.由正弦定理可得ABC外接圆的直径2r2O2B，所以r.而球心O到截面ABC的距离dOO2AA11，设直三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2d2r212，故R，所以该三棱柱的外接球的体积为VR3.故选B.(3)如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.方法归纳1求解与几何体外接球球心有关问题的常用方法构造法(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体2空间问题转化为平面问题的常用方法截面法立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，如利用球心O与截面圆圆心O的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心对点即时训练1(2018张家口模拟)体积为8的正方体ABCDA1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为()A8B4C.D.D要使球的体积V最大，则球为正方体的内切球，正方体的体积为8，正方体的棱长为2，内切球的半径为1，体积为13，故选D.2(2018江西七校联考)如图2410，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将ABE，ECF，FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是()图2410A6 B12 C18 D9C因为APEEPFAPF90，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R3，故该球的表面积S4R24218，故选C.3(2018湖北七市联考)一个几何体的三视图如图2411所示，则该几何体外接球的表面积为()图2411A36 B. C32 D28B根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，高是2.将该四棱锥还原成一个三棱柱，如图所示，该三棱柱的底面是边长为4的正三角形，高是4，其中心到三棱柱的6个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径三棱柱的底面是边长为4的正三角形，底面三角形的中心到三角形三个顶点的距离为2，其外接球的半径R，则外接球的表面积S4R24，故选B.1(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_8由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.2(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图2412.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()图2412A2B2C3 D2B设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM2，ON4，则从M到N的最短路径为2.3(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B.C6 D.B设球的半径为R，ABBC，AB6，BC8，AC10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6810)R68，此时R2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R3，此时R.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V3.4(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36 B64C144 D256C如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大值为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.