2022年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 1-5 1-5-2 球坐标系

2022年高中数学人教B版选修4-4教学案：第一章 1-5 1-5-2 球坐标系读教材填要点1球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0，设z轴的正向与向量的夹角为，x轴的正向与0的夹角为，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，构成的有序数组(r，)称为空间中点M的球坐标在球坐标中限定r0，00，y0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，)，再利用变换公式求出r，代入点的球坐标即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 求解特别注意由直角坐标求球坐标时，和的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误2设点M的直角坐标为，求它的球坐标解：由变换公式得r1.由rcos z得cos ，.又tan (r0，y0)，得，M的球坐标为.球坐标系的应用例3在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，BR，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程思路点拨本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法精解详析如图所示，因为A，B，可知AOO1O1OB，O1AOO1BO.又EOC，EOD，COD.AO1BCOD.在RtOO1B中，O1BO，OBR，O1BO1AR.AO1B，ABR.在AOB中，ABOBOAR，AOB.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，B，求出这两个截面间的距离解：由已知，OAOB8，AOO1，BOO1.在AOO1中，OO14.在BOO2中，BOO2，OB8，OO24，则O1O2OO1OO28.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为()AB.C. D.解析：选A，OP与OP0之间的夹角为.2点M的球坐标为(r，)(，(0，)，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为()A(r，) B(r，)C(r，) D(r，)解析：选D设点M的直角坐标为(x，y，z)，则点M关于(0,0,0)的对称点M的直角坐标为(x，y，z)，设M的球坐标为(r，)，因为所以可得即M的球坐标为(r，)3点P的球坐标为，则它的直角坐标为()A(1,0,0) B(1，1,0)C(0，1,0) D(1,0,0)解析：选Dxrsin cos 1sin cos 1，yrsin sin 1sinsin 0，zrcos 1cos0，它的直角坐标为(1,0,0)4已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为()AP(5,1,1)，BBP(1,1,5)，BCP，B(1,1,5)DP(1,1,5)，B解析：选B球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x，y，z)，则xcos 1，ysin 1，z5.设B点的直角坐标为(x，y，z)，则xsin cos ，ysin sin ，zcos .所以点P的直角坐标为(1,1,5)，点B的直角坐标为.二、填空题5以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示若某地在西经60，南纬45，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为_解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R，.答案：6已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_，它的柱坐标是_解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标答案：(2,2,2)7设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_解析：由坐标变换公式，得r2，cos ，.tan 1，又x0，y0，.M的球坐标为.答案：8在球坐标系中，方程r1表示_，方程表示空间的_解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9如图，请你说出点M的球坐标解：由球坐标的定义，记|OM|R，OM与z轴正向所夹的角为.设M在xOy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点M的位置就可以用有序数组(R，)表示M点的球坐标为M(R，)10已知点P的球坐标为，求它的直角坐标解：根据坐标变换公式得点P的直角坐标为.11如图，建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标(其中O是BCD的中心)解：O是BCD的中心，则OCODOB，AO.C，D，B，A.对应学生用书P19对应学生用书P19利用平面直角坐标系解决几何问题1利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)2坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单例1线段AB与CD互相垂直且平分于点O，|AB|2a，|CD|2b，动点P满足|PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程解以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，如图所示设P(x，y)，则A(a,0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b)，由题设，知|PA|PB|PC|PD|. .化简得x2y2，动点P的轨迹方程为x2y2.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点P(X，Y)对应点P(x，y)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换例2在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(X5)2(Y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状解将代入(X5)2(Y6)21中，得(2x5)2(2y6)21.化简，得2(y3)2.该曲线是以为圆心，为半径的圆.极坐标的求法1在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(，)0为曲线C的极坐标方程2平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程3求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用注意求谁设谁，找出所设点的坐标，的关系例3ABC的底边BC10，AB，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程解如图，令A(，)ABC内，设B，A，又|BC|10，|AB|，所以由正弦定理，得.化简，得A点轨迹的极坐标方程为1020cos .极坐标与直角坐标的互化1互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位2互化公式为3直角坐标方程化极坐标方程可直接将xcos ，ysin 代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos ，sin 的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以即可达到目的，但要注意变形的等价性例4把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线(1)2acos (a0)；(2)9(sin cos )；(3)4；(4)2cos 3sin 5.解(1)2acos ，两边同时乘以，得22acos ，即x2y22ax.整理得x2y22ax0，即(xa)2y2a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆(2)两边同时乘以得29(sin cos )，即x2y29x9y，又可化为22.它是以为圆心，以为半径的圆(3)将4两边平方得216，即x2y216.它是以原点为圆心，以4为半径的圆(4)2cos 3sin 5，即2x3y5.它是一条直线.柱坐标系与球坐标系1柱坐标：设M是空间内任意一点，它在xOy平面上的射影为M0，用(，)(0,02)来表示点M0在平面xOy上的极坐标这时点M的位置可由有序数组(，z)表示，叫做点M的柱坐标2球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|r，OM与Oz轴正向所夹的角为，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为，则M(r，)为M点的球坐标例5在柱坐标系中，求满足的动点M(，z)围成的几何体的体积解根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足1,00，b0，a，b.将曲线4x29y236变成曲线X2Y21的伸缩变换为10已知A，B两点的极坐标分别是，求A，B两点间的距离和AOB的面积解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|2.SAOB|12sin(12)|24sin244.11在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足，求动点P的轨迹方程解：(1)如图所示，设M(，)为圆C上任意一点在OCM中，可知|OC|3，|OM|，|CM|1，.根据余弦定理，得12923cos .化简整理，得26cos 80为圆C的轨迹方程(2)设Q(1，1)，则有61cos 80.设P(，)，则OQQP1(1)231，又1，所以代入得26cos80，整理得215cos500为P点的轨迹方程