2022届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 课后综合提升练 1.3.1 空间几何体的三视图、表面积及体积 文

2022届高考数学二轮复习 专题三 立体几何 课后综合提升练 1.3.1 空间几何体的三视图、表面积及体积 文(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即PAB,PBC,PCD,PAD,由已知,PD平面ABCD,又AD平面ABCD,所以PDAD,同理PDCD,PDAB,所以PCD,PAD是直角三角形.因为ABAD,PDAB,PD,AD平面PAD,PDAD=D,所以AB平面PAD,又PA平面PAD所以ABPA,PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=2,PC=2PB=3,在梯形ABCD中,易知BC=,PBC三条边长为2,3,PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.B.32C.D.【解析】选A.由三视图可知, 该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为4)、高为8的直三棱柱截去一个等底且高为4的三棱锥而得到的,所以该几何体的体积V=448-444=.3.(2018湖南五市十校联考)如图,小方格是边长为1的正方形,一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.4+96B.(2+6)+96C.(4+4)+64D.(4+4)+96【解析】选D由三视图可知,该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体,正方体的棱长为4,圆锥的高为4,底面半径为2,所以该几何体的表面积为S=642+22+2=(4+4)+96.4.一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧(左)视图可能为()【解析】选D.由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD平面BCD,故选D.5.如图是一正方体被过棱的中点M,N和顶点A,D,C1的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正(主)视图为()【解析】选B.还原正方体,如图所示,由题意可知,该几何体的正(主)视图是选项B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若一个几何体的表面积和体积相同,则称这个几何体为“同积几何体”.已知某几何体为“同积几何体”,其三视图如图所示,则a=_.【解析】根据几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱,如图所示,可得其体积为(a+2a)aa=a3,其表面积为(2a+a)a2+a2+a2+2aa+aa=7a2+a2,所以7a2+a2=a3,解得a=.答案:7.(2017全国卷)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_.【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,由题意得,ODBC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h=,SABC=2x3x=3x2,则V=SABCh=x2=,令f=25x4-10x5,x,f=100x3-50x4,令f0,即x4-2x30,x2,则ff=80,则V=4,所以体积最大值为4 cm 3.答案:4 cm 38.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C侧面ABB1A1,AC=AA1=AB,AA1C1 =60,ABAA1,H为CC1的中点,D为BB1的中点.若AB=,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为_.【解析】连接AC1,可知ACC1为正三角形,又H为棱CC1的中点,所以AHCC1,从而AHAA1,又平面AA1C1C平面ABB1A1,平面AA1C1C平面ABB1A1=AA1,AH平面AA1C1C, 所以AH平面ABB1A1,又A1D平面ABB1A1,所以AHA1D.因为AB=.AC=AA1=AB,所以AC=AA1=2,DB1=1,=,又DB1A1=B1A1A=90,所以A1DB1AB1A1,所以B1AA1=DA1B1,又DA1B1+AA1D=90,所以B1AA1+AA1D=90,所以A1DAB1,由及AB1AH=A,可得A1D平面AB1H.取AA1的中点M,连接C1M,则C1MAH,所以C1M平面ABB1A1,所以=C1M=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中ABCD,ABBC,DC=BC=AB=1,点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM平面ADEF.(2)判断点M的位置,使得三棱锥B -CDM的体积为.【解析】(1)因为DC=BC=1,DCBC,所以BD=.因为AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以ADB=90,所以ADBD,因为平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD.BD平面ABCD,所以BD平面ADEF,因为BD平面BDM,所以平面BDM平面ADEF.(2)如图,在平面DMC内,过M作MNDC,垂足为点N,又因为EDAD,平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,所以ED平面ABCD,所以EDCD,所以MNED,因为ED平面ABCD,所以MN平面ABCD.因为VB-CDM=VM-CDB=MNSBDC=,所以11MN=,所以MN=.所以=,所以CM=CE,所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.10.如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开,得到截面BDFE.(1)请在木块的上表面作出过P的锯线EF,并说明理由.(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,试证明:平面BDFE平面A1C1CA.【解析】(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点,则EF即为所作的锯线.理由如下:在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱BB1DD1,且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1BD.又平面ABCD平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD,平面BDFE平面A1B1C1D1=EF,所以EFBD,从而EFB1D1.(2)由于四边形BB1D1D是矩形,所以BDB1B.又A1AB1B,所以BDA1A.又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BDAC.因为ACA1A=A,所以BD平面A1C1CA.因为BD平面BDFE,所以平面BDFE平面A1C1CA.11.如图,平面PAD平面ABCD,ABCD是边长为2的菱形,PA=PD,且APD=90,DAB=60.(1)若线段PC上存在一点M,使得直线PA平面MBD,试确定M点的位置,并给出证明.(2)在第(1)问的条件下,求三棱锥C - DMB的体积.【解析】(1)M为线段PC中点.证明:取线段PC中点M,连接MD,MB,连接AC,BD相交于O点,连接OM,因为ABCD为菱形,AC交BD于O点,所以O为AC中点,又M为PC中点,所以OMPA,又OM平面MBD,PA平面MBD,所以PA平面MBD.(2)因为PA=PD,取AD的中点N,连接PN,所以PNAD,又平面PAD平面ABCD,所以PN平面ABCD,因为APD=90,AD=2,所以PN=AD=1,又M为PC中点,所以M到平面ABCD的距离hM=PN=.因为ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,所以SBCD=22=,所以VC-DMB=VM-BCD=SBCDhM=.(20分钟20分)1.(10分)如图所示,平行四边形ABCD中,DAB=60,AB=2,AD=4.将CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.(1)求证:ABDE.(2)求三棱锥E-ABD的侧面积和体积.【解析】(1)在ABD中,因为AB=2,AD=4,DAB=60,所以BD=2,所以AB2+BD2=AD2,所以ABBD.又平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,AB平面ABD,所以AB平面EBD.又DE平面EBD,所以ABDE.(2)由(1)知ABBD.因为CDAB,所以CDBD,从而DEBD.在RtDBE中,因为DB=2,DE=DC=AB=2,所以SEDB=DBDE=2.因为AB平面EBD,BE平面EBD,所以ABBE.因为BE=BC=AD=4,所以SEAB=ABBE=4.因为DEBD,平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,所以DE平面ABD,而AD平面ABD,所以DEAD,故SEAD=ADDE=4.故三棱锥E-ABD的侧面积S=SEDB+SEAB+SEAD=8+2.因为DE平面ABD,且SABD=SEBD =2,DE=2,所以V三棱锥E-ABD=SABDDE=22=.2.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于点A1,B1,C1,BAD=60.(1)求证:B1为PB的中点.(2)已知棱锥的高为3,且AB=2,AC,BD的交点为O,连接B1O.求三棱锥B1-ABO外接球的体积.【解析】(1)连接B1D1.由题意知,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面PBD平面ABCD=BD,平面PBD平面A1B1C1D1=B1D1,则BDB1D1,即B1D1为PBD的中位线,即B1为PB的中点.(2)由(1)可得,OB1=,AO=,BO=1,且OAOB,OAOB1,OBOB1,即三棱锥B1-ABO的外接球为以OA,OB,OB1为长、宽、高的长方体的外接球,则该长方体的体对角线长d=,即外接球半径R=.则三棱锥B1-ABO外接球的体积V=R3=.