2022-2023学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教A版选修4-5

2022-2023学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教A版选修4-5考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明真题体验 1(2017全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x2，解得x1；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例1若x，y，zR，a0，b0，c0，求证：x2y2z22(xyyzzx)证明x2y2z22(xyyzzx)x y2y z2z x20.x2y2z22(xyyzzx).综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例2设a，b，cR且abc1.求证：(1)2abbcca；(2)2.证明(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当ab时等号成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为，当且仅当abc时等号成立所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时等号成立.分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发， 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例3已知a0，b0，且ab1，求证： 2.证明要证 2，只需证24，即证ab12 4.即证1.也就是要证ab(ab)1，即证ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立故 2.反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候，可考虑用间接证法予以证明，反证法是间接证法的一种假设欲证的命题是“若A则B”，我们可以通过否定来达到肯定B的目的，如果只有有限多种情况，就可用反证法用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论，从而肯定原命题成立例4已知a，b，c为实数，abc0，abbcca0，abc0，求证：a0，b0，c0.证明假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数不妨先设a0，下面分a0或a0两种情况讨论如果a0，那么abc0，与已知矛盾，所以a0不可能如果a0，可得bc0，所以bca0，于是abbccaa(bc)bc0相矛盾因此，a0.同理可以证明b0，c0，所以原命题成立.放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的例5已知nN，求证：.证明因为，所以. (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用分析法证明不等式的推论过程一定是()A正向、逆向均可进行正确的推理B只能进行逆向推理C只能进行正向推理D有时能正向推理，有时能逆向推理解析：选B在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需进行逆向推理即可2设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b的大小关系是()AabCab Dab解析：选Balg 2lg 51，bex(x0)，故bb.3已知a，b，c，d为实数，ab0，则下列不等式中成立的是()Abcad BbcadC. D.解析：选B将两边同乘以正数ab，得bcad，所以bcad.4已知x10，x11，且xn1(nN*)，试证“数列xn对任意正整数n都满足xnxn1”，当此题用反证法否定结论时，应为()A对任意的正整数n，都有xnxn1B存在正整数n，使xnxn1C存在正整数n(n2)，使xnxn1且xnxn1D存在正整数n(n2)，使(xnxn1)(xnxn1)0解析：选D命题的结论是等价于“数列xn是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D.5用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析：选A至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3axb0没有实根”6使不等式1成立的正整数a的最大值为()A10 B11C12 D13解析：选C用分析法可证a12时不等式成立，a13时不等式不成立7已知a，b，c，dR且S，则下列判断中正确的是()A0S1 B1S2C2S3 D3S4解析：选B用放缩法，以上四个不等式相加，得1S0，b0，c0，且a2b2c2，则anbn与cn的大小关系为(n3，nN)()Aanbncn BanbncnCanbncn Danbncn解析：选B因为a2b2c2，所以221.所以n2，n2，所以nn221.所以anbnNPQ BMPNQCMPQN DNPQM解析：选D，0sin cos .|sin |(|sin |sin |)|sin |M.P|sin |cos |PM.Q|sin |M，NPQM.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分把答案填写在题中的横线上)11用反证法证明“在ABC中，若A是直角，则B一定是锐角”时，应假设_解析：“B一定是锐角”的否定是“B不是锐角”答案：B不是锐角12如果abab，则实数a，b应满足的条件是_解析：由知a0，知b0，而abab，知ba.此时ab(ab)()2()0，不等式成立故实数a，b应满足的条件是a0，b0，ab.答案：a0，b0，ab13已知ab0，则与的大小关系是_解析：(ab).ab0，(ab)20，0.答案：14设0mnab，函数yf(x)在R上是减函数，下列四个数f，f，f，f的大小顺序依次是_解析：1fff.答案：ffff三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)设|a|1，|b|1，求证：|ab|ab|2.证明：当ab与ab同号时，|ab|ab|abab|2|a|2；当ab与ab异号时，|ab|ab|ab(ab)|2|b|2.|ab|ab|2.16(本小题满分12分)已知：在ABC中，CAB90，D是BC的中点，求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD.即BCA.因为BC180A，所以180AA即A90，与已知矛盾，故ADBC不成立由(1)(2)知ADBC成立17(本小题满分12分)求证：13.证明：由(k是大于2的自然数)，得111133.18(本小题满分14分)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc)，当且仅当abc1时，取等号，所以abc，即3.