2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析) (III)

2022-2023学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析) (III)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】为纯虚数，所以，故选A.2. 下列说法中正确的是 （ ）相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；回归直线一定经过样本点的中心；随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，相关性越强，故错误回归直线一定经过样本点的中心，故正确随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度，故正确相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误综上，说法正确的是故选【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题3. 某校为了解高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将他们随机编号为1,2,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中,编号落在区间1,200的人做试卷A,编号落在201,560的人做试卷B,其余的人做试卷C,则做试卷C的人数为 （ ）A. 10 B. 12C. 18 D. 28【答案】B【解析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷，由，即，解得，再由为正整数可得，做问卷的人数为，故选B.4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.A. 0 B. -1 C. -2 D. -8【答案】B【解析】根据流程图可得：第1次循环： ；第2次循环： ；第3次循环： ；第4次循环： ；此时程序跳出循环，输出 .本题选择B选项.5. 在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是 （ ）A. 四边形一定为菱形B. 四边形在底面内的投影不一定是正方形C. 四边形所在平面不可能垂直于平面D. 四边形不可能为梯形【答案】D【解析】 对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选：D6. 已知随机变量满足，且，若，则 （ ）A. ，且 B. ，且C. ，且 D. ，且【答案】B【解析】分析：求出，从而，由，得到，从而，进而得到.详解：随机变量满足，解得，故选B.点睛： 本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题.7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.考点：三视图.8. 有一个偶数组成的数阵排列如下： 2 4 8 14 22 32 6 10 16 24 34 12 18 26 36 20 28 38 30 40 42 则第20行第4列的数为 （ ）A. 546 B. 540 C. 592 D. 598【答案】A【解析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.观察可知第1行的第1个数为：；第2行第1个数为：；第3行第1个数为：.第23行第1个数为：.所以第20行第4列的数为.故选A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题9. 已知一袋中有标有号码的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有种；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有种；所以恰好第5次停止取卡片的概率为.本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10. 已知单位圆有一条长为的弦，动点 在圆内，则使得的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】建立直角坐标系，则，设点坐标为，则，故，则使得的概率为,故选A.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 （）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴常为 ,故选B.12. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为,(为自然对数的底数),且当时, ,则 ()A. f(1)ef(0) C. f(3)e3f(0) D. f(4)e4f(0)【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后结合题意判断其单调性，然后比较大小【详解】令，时，则，在上单调递减即，故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进行赋值来求函数值的大小，有一定难度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 已知离散型随机变量服从正态分布，且，则_【答案】【解析】随机变量X服从正态分布，=2，得对称轴是x=2，P（23）=0.468，P（13）=0.468=故答案为：点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.15. 已知展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_【答案】61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式，求出，代入可求展开式中常数项为.详解：的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，解得，又，则展开式中常数项为.点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式.16. 已知函数,存在,则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析：由题意得，因为存在，所以，所以令，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最大值，所以的最大值为考点：分段函数的性质及利用导数求解函数的最值【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与极值、最值，着重考查了学生分析、解答问题的能力，同时考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，先确定的范围，构造新函数，求解新函数的单调性及其极值、最值，即可求解结论的最大值三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17. 2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表.（1）将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关. (2)【解析】分析：读懂题意，补充列联表，代入公式求出的值，对照表格，得出结论；（2）根据古典概型的特点，采用列举法求出概率。详解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人.记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取2人，基本事件有共15种记至少有一位男性观众为事件，则事件包含共9个基本事件由古典概型，知点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）计算的值；（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断。18. 参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.定价x(元/千克)102030405060年销量y(千克)115064342426216586z=2 ln y14.112.912.111.110.28.9参考数据:，.(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答案】(1) z与x具有较强的线性相关性(2)（3）估计年销量为=1千克【解析】【分析】由散点图可知z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程代入回归方程求出年销量【详解】(1)由散点图知, z与x具有较强的线性相关性.(2)-0.10,15,x+=15-0.10x.又z=2ln y,y关于x的回归方程为.(3)当定价为150元/千克时,估计年销量为=1千克.【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，只需理清题目中的数据，代入公式即可求出线性回归方程，然后求出年销量，较为基础19. 如图，在三棱柱中，（1）证明：点在底面上的射影必在直线上；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值【答案】()见解析()【解析】分析：（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质定理可得点在底面上的射影必在直线上；（2）是二面角的平面角，在平面内过点作，以为轴建系，求出的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）因为，所以平面 所以平面平面 过点作，则由面面垂直的性质定理可知又，所以重合，所以点在底面上的射影必在直线上 （2）是二面角的平面角， 法一：连接， 平面平面平面 作是直线与平面所成角又， 法二：在平面内过点作，以为轴建系则 所以 由可以求得平面的法向量所以点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析：（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定的可能取值，利用概率公式即可得到总分的分布列，代入期望公式即可试题解析：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2）的可能取值为：0，10，20，30，则，的分布列为的数学期望为考点：离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件21. 已知抛物线C：y24x和直线l：x1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.【答案】(1)(2) 见解析【解析】试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，又y24x，解得Q；（2）设点(1，t)的直线方程为ytk(x1)，联立y24x，则0，得k2kt10，则切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。试题解析：(1)设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，即y22x1，由解得Q.(2)设过点(1，t)的直线方程为ytk(x1)(k0)，代入y24x，得ky24y4t4k0，由0，得k2kt10，特别地，当t0时，k1，切点为A(1，2)，B(1，2)，显然AB过定点F(1，0).一般地方程k2kt10有两个根，k1k2t，k1k21，两切点分别为A，B，又20，与共线，又与有共同的起点F，A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)，综上，直线AB过定点F(1，0).点睛：切点弦问题，本题中通过点P设切线，求得斜率k，再求出切点A，B，通过证明与共线，AB过点F(1，0)。一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点P，结合两点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。22. 已知（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围【答案】(1) 上单调递减，在上单调递增(2) 【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性（2）由题意得函数在上的值域为结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围试题解析：（1）由题意知函数的定义域为因为，所以，令，则，所以当时，是增函数，又，故当时，单调递减，当时，单调递增所以上单调递减，在上单调递增（2）由（1）知当时，取得最小值，又，所以在上的值域为因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有1个因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得所以实数的取值范围是点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）