2022年高三数学《等差、等比数列》教学设计

2022年高三数学等差、等比数列教学设计考纲要求：1. 理解等等比数列的概念.2. 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4. 了解等差数列与一次函数的关系，了解等比数列与指数函数的关系.考点回顾：等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型，因而也是高考重点考察的对象，从近几年的高考看，考查既有选择题、填空题，也有解答题，既有容易题和中档题，也有难题.客观题一般“小而巧”，考查对等差、等比数列概念的理解、性质的灵活运用，主观题则一般“大而全”，除了考查数列的概念、性质、公式的应用外，还经常与其他知识融合在一起，同时也考查分类讨论、等价转化、函数与方程等数学思想方法的灵活应用.考试说明对等差、等比数列都提出了较高的要求，因此，等差、等比数列的综合问题应用问题将是xx年高考对数列考查的重点.基础知识过关：等差数列1.等差数列的定义：如果一个数列从第 项起，每一项与他的前一项的差都等于 ，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 .2.等差数列：在一个等差数列中，从第二项起每一项（有穷数列最有一项除外）都是它前一项与后一项的等差中项，即 （）.3.等差数列的单调性 当d0时，是 数列；当d=0时，是 数列；当d0时，是 数列.4.等差数列的前n项和是用 法求得的，要注意这种思想方法在数列求和中的应用.5.等差数列的通项公式= ，前n项和公式= = ，两个公式一共涉及到五个量，知其三就能求另二.等比数列：1.等比数列的定义：一般的，如果一个数列从 起，每一项与他的 的比等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 ()表示.2.设等比数列的首项为，公比为q,则它的通项= .3.等比中项：如果三个数a、G、b组成 ，则G叫做a和b的等比中项，那么 .4.等比数列的前n项和公式 .答案：等差数列1.同一个常数 公差2. 3.递增 常数列 递减4.倒序相加5. 等比数列1.第2项 前一项 同一个 公比 q2. 3.等比数列 ab4.q=1时， 高考题型归纳：题型1.等差等比数列的判定与证明：证明一个数列为等差或等比一般用定义或者等差（比）中项来证明，而对于等差数列来说，证明一个数列的通项公式是关于n的一次函数或者证明它的前n项和事关于n的不含常数项的二次函数也能说明它是等差数列.例1. 已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解析：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2点评：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用题型2.等差等比数列的基本运算：在等差等比数列中指涉及到五个基本量，即，“知三求二”是一种基本运算，一般式通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，对于等比数列来说，要注意分类讨论思想的应用。例2. 已知数列的前n项为的前n项和满足（I）求数列的通项公式；（II）将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列的通项公式；分析：已知，一般由（）来求得，然后再研究其他问题，本题的难点在于判定来那个个数列的公共项.解析：（I），(II)由,即,故的通项公式为设数列中的第项与数列中的第n项相同，则有由此 必有n为奇数2k+1，故的通项公式为点评：本例主要复习了通过前n项和求数列的通项,并学会通过观察两个不同数列,找出公共项通过化归写出新数列的通项.题型3.等差等比数列性质的应用合理运用等差等比数列的性质是高考考查的一个重点，也是考查学生能否合理进行简化运算的关键.在计算过程中，若能恰当地选择性质，则可大大减少运算量.例3. 等差数列an的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和 分析： 本题可以根据条件直接列式求解，但是若能合理应用性质，选择不同的公式，则会得到不同的解法.解析：解法一 将Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得 解法二 由知，要求S3m只需求ma1+,将得ma1+ d=70,S3m=210 解法三 由等差数列an的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数） 将Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A(3m)2+B3m=210解法四 S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m2md=S2m+Sm+2m2d 由解法一知d=,代入得S3m=210 解法五 根据等差数列性质知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列，从而有 2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法六 Sn=na1+d,=a1+d点(n, )是直线y=+a1上的一串点，由三点(m,),(2m, ),(3m, )共线，易得S3m=3(S2mSm)=210 解法七 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210答案 210 点评：将条件“等差数列”换成“等比数列”，使用类比思想，考虑这七种方法是否都可类比.题型4.等差等比数列前n项和的最值：求等差数列前n项和的最值，常用的方法有：（1） 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2） 利用性质求出正负转折项；（3） 利用等差数列的前n项和为关于n的二次函数，根据二次函数的性质求解.例4. 设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S120,S130 ()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由分析：（1）依据直接列方程求解d的范围即可；（2）判断出转折项即可找出前n项和的最大值.解析： ()依题意,有 ，即由a3=12,得 a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d0可知 a1a2a3a12a13因此,若在1n12中存在自然数n,使得an0,an+10,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大点评：无论应用二次函数求最值，还是利用找转折项求最值，两种方法都具有一般性，但是需要注意的是，利用二次函数求最值，要注意n只能取正整数，找转折项可以通过利用通项公式解不等式，但是计算比较繁琐，这时可以合理选择应用数列的性质，以简化运算和判断.过关训练：6.1 等差、等比数列一.选择题1.等差数列的前n项和为，等于（ ）A.102 B.204 C.306 D.4082.等差数列的公差d0的n的最大值为 （ ）A.11 B.19 C.20 D.2112.设数列、都是等差数列，且那么数列的第xx项的值是 （ ）A.85 B.90 C.95 D.100二、填空题13.等差数列中，有两项，则该数列前mk项之和是 .14.设，定义使为整数的数k（）叫做数列则区间内的所有企盼数的和为 .15.定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就做等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”.已知数列是等积数列，且，公积为6，那么 ，这个数列前n项积的计算公式为 .16.把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下也都成等差数列，且正中间的数=1，则表中所有数的和为 .三、解答题：17.已知数列为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）证明 18.已知数列中，数列满足；（1） 求证：数列是等差数列；（2） 求数列中的最大值和最小值，并说明理由19. 设数列an的首项，且，记（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；20. 是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项21. 已知等比数列的前项和为，且（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和22. 在等比数列a n中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明答案与解析一、 选择题1. 解： =204答案：B2. 解：由，所以，所以.答案：D3. 解：.答案：D4. 解：，即32=，.答案：A5. 解：在等比数列中， ，=答案：B6. 解：因为等差数列共10项，所以，.答案：C.7. 解：因为是等差数列，.答案：D.8. 解：.答案：C.9. 解：因为，即等比数列前10项大于1，从第11项起小于1，故最大。答案：C.10. 解：设数列前三项分别为所以前三项之积，后三项之积，所以，两式相乘可得：，即.又因为所有项之积为64，即，所以n=12.答案：B.11. 解：，所以使0的n的最大值为19.答案：B.12. 解：设、的公差分别为m、n，则，所以m+n=0,故=100.答案：D.二、 填空题13. 解：=，解得：，所以.答案：14. 解：要使=为整数，则必须，即,(),所以在区间内的所有企盼数为：，其和为：=2026答案：2026.15. 解：由数列是“等积数列”，且公积为6，得：，所以.数列形如2，3，2，3，故前n项积的计算公式为：（n为偶数）或者（n为奇数）.答案：3 （n为偶数）或者（n为奇数）.16.解：，所以所有数字和为：.答案：49三、 解答题17.解：(1)为等差数列,设公差为,即为非零常数, 是以为首项,为公比的等比数列, ,又,(2)由(1)知, ,18.解：(1),而,；故数列是首项为，公差为1的等差数列；（2）由（1）得，则；设函数，则，函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1，19.解：（I）a2a1+= a+，a3=a2 =a+；（II） a4 = a3+=a+， a5=a4=a+，所以b1=a1=a， b2=a3= (a)， b3=a5= (a)，猜想：bn是公比为的等比数列证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn， (nN*) 所以bn是首项为a， 公比为的等比数列20解：由已知得， 即 ，解得或 或 经验证 或 均满足题意，即为所求21. 解：（1）当时，而为等比数列，得，即，从而 又（2）， 两式相减得，因此，22.解：（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 （）设an的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 ， q=1或q=当q=1时，Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，Sm+Sm+12 Sm+2， Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=时， ，Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真