（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案

第三章 导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(axb)的导数).导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.第1讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(选修22P65A组T2(1)改编)函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos x解析：选B.yxcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.2(选修22P18A组T6改编)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_解析：因为y，所以y|x12.故所求切线方程为2xy10.答案：2xy103(选修22P7例2改编)有一机器人的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则该机器人在t2时的瞬时速度为_解析：因为st2，所以s2t，所以s|t24.答案：易错纠偏(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；(2)不会用方程法解导数求值1已知函数f(x)sin，则f(x)_解析：f(x)sincos2cos.答案：2cos2设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_解析：因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcossin，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故fcossin.答案：导数的计算求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xex2xe；(4)yln(2x5)【解】(1)因为y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，所以y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)令u2x5，yln u，则y(ln u)u2. 提醒求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量1已知f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0()Ae2 B1Cln 2 De解析：选B.因为f(x)x(2 017ln x)，所以f(x)2 017ln x12 018ln x，又f(x0)2 018，所以2 018ln x02 018，所以x01.2求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln x；(4)y(1sin x)2.解：(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x.导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程(或斜率)求参数值角度一求切线方程 (1)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_【解析】(1)因为y2x，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y|x1211，所以切线方程为y2x1，即yx1.(2)因为点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，所以设切点为(x0，y0)又因为f(x)1ln x，所以解得x01，y00.所以切点为(1，0)，所以f(1)1ln 11.所以直线l的方程为yx1.【答案】(1)yx1(2)yx1角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标 若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【解析】设P(x0，y0)，因为yex，所以yex，所以点P处的切线斜率为kex02，所以x0ln 2，所以x0ln 2，所以y0eln 22，所以点P的坐标为(ln 2，2)【答案】(ln 2，2)角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (1)(2020宁波调研)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab的值等于()A2 B1C1 D2(2)(2020绍兴调研)若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a_【解析】(1)依题意知，y3x2a，则由此解得所以2ab1，选C.(2)依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有，解得x0，a2e.【答案】(1)C(2)2e (1)求曲线切线方程的步骤求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)求曲线的切线方程需注意两点当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 1(2020杭州七校联考)曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2 B4e2C2e2 De2解析：选D.因为yex，所以ke4e2，所以切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所以所求面积为S2|e2|e2.2已知函数f(x)(x2ax1)ex(其中e是自然对数的底数，aR)，若f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，则a_解析：f(x)(x2ax1)ex(x2ax1)(ex)(2xa)ex(x2ax1)exx2(a2)x(a1)ex，故f(0)02(a2)0(a1)e0a1.因为f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，故f(0)1，即a11，解得a2.答案：23(2020台州高三月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1log2 018x2log2 018x2 017的值为_解析：f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以x1x2x2 017.则log2 018x1log2 018x2log2 018x2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 0181.答案：1两条曲线的公切线若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_【解析】设ykxb与yln x2和yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)则切线分别为yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxln x11，yxln(x21)，依题意解得x1，从而bln x111ln 2.【答案】1ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解(2)利用公切线得出关系式设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，y1)，在yg(x)上的切点P2(x2，y2)，则f(x1)g(x2). 1已知函数f(x)x24x4，g(x)x1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A三条 B二条C一条 D0条解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m)，(n，g(n)，f(x)2x4，g(x)x2，g(n)f(m)，解得m2，代入化简得8n38n210，构造函数f(x)8x38x21，f(x)8x(3x2)，原函数在(，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值f(0)0，极小值f0，故函数和x轴有3个交点，方程8n38n210有三个解，故切线有3条故选A.2曲线f(x)ex在x0处的切线与曲线g(x)ax2a(a0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为_解析：曲线f(x)在x0处的切线方程为yx1.设其与曲线g(x)ax2a相切于点(x0，axa)则g(x0)2ax01，且axax01.解得x01，a，切点坐标为(1，0)所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y1(x1)，即xy10.答案：xy10基础题组练1函数yx2cos x在x1处的导数是()A0 B2cos 1sin 1Ccos 1sin 1 D1解析：选B.因为y(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x，所以y|x12cos 1sin 1.2(2020衢州高三月考)已知t为实数，f(x)(x24)(xt)且f(1)0，则t等于()A0 B1C. D2解析：选C.依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，所以f(1)32t40，即t.3(2020温州模拟)已知函数f(x)x22x的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)(x1x20)处的切线互相垂直，则x2x1的最小值为()A. B1C. D2解析：选B.因为x1x20，f(x)x22x，所以f(x)2x2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f(x1)，f(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f(x1)f(x2)1.所以(2x12)(2x22)1，所以2x120，2x220，所以x2x1(2x12)(2x22)1，当且仅当(2x12)2x221，即x1，x2时等号成立所以x2x1的最小值为1.故选B.4已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6，则f(2 018)()A6 B8C6 D8解析：选D.因为f(x)4ax3bsin x7.所以f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6，所以f(2 018)1468，故选D.5.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：选B.由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由题图可知f(3)1，所以g(3)130.6若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为()A1 B.C. D.解析：选B.因为定义域为(0，)，令y2x1，解得x1，则在P(1，1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间的距离为d.7已知f(x)，g(x)(1sin x)2，若F(x)f(x)g(x)，则F(x)的导函数为_解析：因为f(x)，g(x)2(1sin x)(1sin x)2cos xsin 2x，所以F(x)f(x)g(x)2cos xsin 2x.答案：2cos xsin 2x8(2020绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线yx23ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为_解析：设切点为(m，n)(m0)，yx23ln x的导数为yx，可得切线的斜率为m，解方程可得，m2.答案：29(2020金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(2)2 018，若对任意的xR，都有f(x)2x成立，则不等式f(x)x22 014的解集为_解析：构造函数g(x)f(x)x22 014，则g(x)f(x)2x0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(2)f(2)222 0142 01842 0140，由f(x)x22 014有f(x)x22 0140，即g(x)0g(2)，所以x2，不等式f(x)x22 014的解集为(2，)答案：(2，)10如图，已知yf(x)是可导函数，直线l是曲线yf(x)在x4处的切线，令g(x)，则g(4)_解析：g(x).由题图可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，故k1.由导数的几何意义可得f(4)，因为Q(4，5)在曲线yf(x)上，故f(4)5.故g(4).答案：11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.12已知函数f(x)ax(x0)在x2处的切线方程为3x4y40.(1)求a，b的值；(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：yx，直线l2：x0围成的三角形的面积为定值解：(1)由f(x)ax，得f(x)a(x0)由题意得即解得a1，b1.(2)证明：由(1)知f(x)x，设曲线的切点为P，f(x0)1，曲线在P处的切线方程为y(xx0)即yx.当x0时，y.即切线l与l2：x0的交点坐标为A.由得即l与l1：yx的交点坐标为B(2x0，2x0)又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S|2x0|2.即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值综合题组练1若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A. B，)C(0，) D0，)解析：选D.f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)故选D.2(2020金华十校联考)已知函数yx2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数yln x，x(0，1)的图象相切，则x0必满足()A0x0 B.x01C.x0 D.x0解析：选D.令f(x)x2，f(x)2x，f(x0)x，所以直线l的方程为y2x0(xx0)x2x0xx，因为l也与函数yln x(x(0，1)的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y，所以l的方程为yxln x11，这样有所以1ln(2x0)x，x0(1，)，令g(x)x2ln(2x)1，x(1，)，所以该函数的零点就是x0，又因为g(x)2x，所以g(x)在(1，)上单调递增，又g(1)ln 20，g()1ln 20，g()2ln 20，从而x0，选D.3(2020宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：中，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos xsin0在区间上恒成立；中，f(x)2(x0)，f(x)0在区间上恒成立；中，f(x)3x22，f(x)6x在区间上恒小于0.中，f(x)exxex，f(x)2exxexex(x2)0在区间上恒成立，故中函数不是凸函数故为凸函数答案：4(2020浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)aexx2，g(x)cos (x)bx，直线l与曲线yf(x)切于点(0，f(0)，且与曲线yg(x)切于点(1，g(1)，则ab_，直线l的方程为_解析：f(x)aex2x，g(x)sin (x)b，f(0)a，g(1)cos bb1，f(0)a，g(1)b，由题意可得f(0)g(1)，则ab，又f(0)a，即ab1，则ab2；所以直线l的方程为xy10.答案：2xy105设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)由题意得，y2x.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，2x1k，联立得，x12，x22(舍去)所以k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得，x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x29，所以x2，y24.所以Q点的坐标为.6(2020绍兴一中月考)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.17