（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第七章 不等式 4 第4讲 基本不等式教学案

第4讲基本不等式1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修5P99例1(2)改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为_解析：因为x0，y0，所以，即xy81，当且仅当xy9时，(xy)max81.答案：812(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析：设矩形的一边为x m，则另一边为(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.答案：25易错纠偏(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用1“x0”是“x2成立”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C.当x0时，x2 2.因为x，同号，所以若x2，则x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要条件，故选C.2设x0，则函数yx的最小值为_解析：yx22 20，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.答案：0利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题主要命题角度有：(1)求不含等式条件的函数最值；(2)求含有等式条件的函数最值角度一求不含等式条件的函数最值 (1)函数f(x)(x0)的最大值为_(2)已知x0，则f(x)，当且仅当x时等号成立(2)因为x0，则f(x)4x23231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.【答案】(1)(2)1角度二求含有等式条件的函数最值 (1)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2C4 D2(2)(2020杭州中学高三月考)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n均大于0，则的最小值为()A2 B4C8 D16【解析】(1)因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24，当且仅当，即x，y时，取等号(2)因为x2时，yloga111，所以函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点(2，1)，即A(2，1)，因为点A在直线mxny10上，所以2mn10，即2mn1，因为m0，n0，(2mn)2242 8，当且仅当m，n时取等号，故选C.【答案】(1)C(2)C利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解 1设a，b0，ab5，则的最大值为_解析：令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.所以 tmax3.答案：32(2020瑞安市龙翔高中高三月考)设x，y满足约束条件，若目标函数zaxby(a1，b2)的最大值为5，则的最小值为_解析：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A(1，1)由zaxby(a1，b2)，得yx，由图可知，zmaxab5.可得a1b22.所以(a1b2).当且仅当b2a时等号成立，并且ab5，a1，b2即a，b时上式等号成立所以的最小值为.答案：利用转化思想求参数 已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)涉及恒成立问题的数学问题，一般将其转化为最值问题处理，即af(x)恒成立，则af(x)max；af(x)恒成立，则af(x)min.(2)涉及多个变元问题时，用常量与变元的转化思想处理如本例先把参数a看作常量，求得含参数a的最值，再将其转化为变量处理 1(2020浙江省名校联考)已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A. B.C1 D2解析：选C.由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号所以解得a1，故选C.2(2020金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)(a0)米，则|AN|(x2)米因为，所以|AM|，所以S矩形AMPN|AN|AM|.由S矩形AMPN32得32.又x0得3x220x120，解得0x6，即DN长的取值范围是(6，)(2)矩形花坛的面积为y3x12(x0)2 1224.当且仅当3x即x2时，矩形花坛的面积最小为24平方米(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解(2)此类问题还常与一元二次函数、一元二次不等式结合命题，求解关键是构建函数与不等关系，在实际条件下解决 某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10a)(5a)50，解得0a5.所以商品的价格最多可以提高5元(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx(x2x)50(x5)即可，此时mx2 ，当且仅当x，即x10时，取“”故销售量至少应达到万件，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和核心素养系列13数学运算利用均值定理连续放缩求最值已知ab0，那么a2的最小值为_【解析】因为ab0，所以ab0，所以b(ab)，所以a2a22 4，当且仅当bab且a2，即a且b时取等号，所以a2的最小值为4.答案：4设ab0，则a2的最小值是_【解析】因为ab0，所以ab0，所以a2(a2ab)ab22 4(当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号)【答案】4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法 基础题组练1当x0时，函数f(x)有()A最小值1 B最大值1C最小值2 D最大值2解析：选B.f(x)1.当且仅当x，x0即x1时取等号所以f(x)有最大值1.2设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件3(2020嘉兴期中)若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值为()A3 B4C. D.解析：选B.因为正实数x，y满足x2y2xy80，所以x2y80，设x2yt0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值为4.4若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D.由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，故1.所以ab(ab)772 74.当且仅当时取等号故选D.5不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2，0) B(，2)(1，)C(2，1) D(，4)(2，)解析：选C.根据题意，由于不等式x2x对任意a，b(0，)恒成立，则x2x，因为2 2，当且仅当ab时等号成立，所以x2x2，求解此一元二次不等式可知2x0，所以a10，所以2 2，当且仅当和1同时成立，即ab3时等号成立，所以的最小值为2，故选A.7已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab，当且仅当ab时取到等号答案：28(2020嘉兴期中)已知0x，则x(54x)的最大值是_解析：因为0x，所以054x5，所以x(54x)4x(54x)，当且仅当x时取等号，故最大值为.答案：9(2020温州市瑞安市高考模拟)若x0，y0，则的最小值为_解析：设t0，则t(2t1)2，当且仅当t时取等号答案：10(2020宁波十校联考)已知a，b均为正数，且ab1，c1，则(1)c的最小值为_解析：因为ab1，所以112 ，当且仅当即a1，b2时取等号，所以(1)cc(c11)3，当且仅当c2时取等号答案：311已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s(n为常数，且nN)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中(1)求n的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？解：(1)由试验数据知，s1n4，s2n，所以解得.又nN，所以n6.(2)由(1)知，s，v0.依题意，s12.6，即v224v5 0400，解得84v60.因为v0，所以0v60.故行驶的最大速度为60 km/h.综合题组练1.如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则x2y的最小值为()A2 B.C. D.解析：选C.由已知可得()，又M、G、N三点共线，故1，所以3，则x2y(x2y)(当且仅当xy时取等号)故选C.2已知x0，y0，2xy1，若4x2y2m0恒成立，则m的取值范围是()A(1，0) B.C. D.解析：选B.4x2y2m4x2y2恒成立因为x0，y0，2xy1，所以12xy2，所以0，选B.3(2020杭州学军中学考试)已知ab，若二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立，则M的最小值为_解析：由条件知a0，ba0.由题意得b24ac0，解得c，所以M424448，当且仅当b3a时等号成立，所以M的最小值为8.答案：84(2020浙江省名校联考)已知a0，b1，且ab1，则的最小值为_解析：aab12，又ab1，a0，b10，所以ab122 ，当且仅当即a42，b23时取等号，所以的最小值为.答案：5已知x0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.6.(2020义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积Sxysin 120xy.所以S2 500.当且仅当即xy100时取“”(2)由题意得100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，当y时，PQ有最小值，此时x.16