（新课标）2020版高考数学二轮复习 第三部分 教材知识 重点再现 回顾8 解析几何学案 文 新人教A版

回顾8解析几何必记知识 直线方程的五种形式名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上一定点，k是斜率不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距不垂直于x轴两点式(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不垂直于x轴和y轴截距式1a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式AxByC0(A，B不同时为零)A，B都不为零时，斜率为，在x轴上的截距为，在y轴上的截距为任何位置的直线 圆的四种方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圆的参数方程：(为参数)(4)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2) 直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切三种情况可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离；dr相切 圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距d与r1，r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解4外切dr1r2一组实数解3相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解2内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解1内含0db0)1(ab0)图形几何性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与长轴长的比值：e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2 双曲线的标准方程及几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形几何性质范围|x|a，yR|y|a，xR对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)几何性质轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与实轴长的比值：e(1，)渐近线yxyxa，b，c的关系a2c2b2 抛物线的标准方程及几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点FFFF准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR离心率e1必会结论 常见的直线系方程(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(xx0)B(yy0)0(A2B20)，还可以表示为yy0k(xx0)(斜率不存在时可为xx0)(2)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(3)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(4)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20) 与圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.(4)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为1，则渐近线的方程为0，即yx.(2)若渐近线的方程为yx，即0，则双曲线的方程可设为.(3)若所求双曲线与双曲线1有公共渐近线，其方程可设为(0，焦点在x轴上；0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线AB的倾斜角，则(1)焦半径|AF|x1，|BF|x2.(2)x1x2，y1y2p2.(3)弦长|AB|x1x2p.(4).(5)以弦AB为直径的圆与准线相切(6)SOAB(O为抛物线的顶点)必练习题1(一题多解)(2019高考北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A.B. 4C. 2 D.解析：选D.通解：由双曲线方程可知b21，所以c，所以e，解得a，故选D.优解：由e，e21，b21，得51，得a，故选D.2(一题多解)(2019石家庄市模拟(一)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A8 B2C5 D.解析：选D.通解：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，因为圆C经过点(1，0)和(2，3)，所以，所以ab20，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|b|，由得ab1，所以圆C的半径为，故选D.优解：设圆C过点M(1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线yx2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心在直线yx上，因为直线yx和直线yx2平行，所以圆心C为直线yx和直线yx2的交点(1，1)，所以圆C的半径为，故选D.3(2019合肥市第二次质量检测)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，且经过点P(，4)，则双曲线的方程是()A.1 B.1C.1 Dx21解析：选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y2x，所以2.又双曲线过点P(，4)，所以1.联立，解得a，b2，所以双曲线的方程为1，故选C.4(2019成都市第二次诊断性检测)已知aR且为常数，圆C：x22xy22ay0，过圆C内一点(1，2)的直线l与圆C相交于A，B两点当ACB最小时，直线l的方程为2xy0，则a的值为()A2 B3C4 D5解析：选B.圆的方程配方，得(x1)2(ya)21a2，圆心为C(1，a)，当弦AB长度最短时，ACB最小，此时圆心C与定点(1，2)的连线和直线2xy0垂直，所以21，a3.5(2019武汉部分学校调研)如图，抛物线E：x24y与M：x2(y1)216交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则PMN的周长的取值范围是()A(6，12) B(8，10)C(6，10) D(8，12)解析：选B.由题意可得抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y1的距离，又PNy轴，故|PN|NM|等于点P到准线y1的距离由，得y3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|4，所以PMN的周长的取值范围是(8，10)，故选B.6(一题多解)(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析：通解：由椭圆C：1，得c4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|F1F2|2c8，于是由椭圆的定义得|MF1|MF2|12，所以|MF2|12|MF1|4，易知MF1F2的底边MF2上的高h2，所以|MF2|h|F1F2|yM，即428yM，解得yM，代入椭圆方程得xM3(舍去)或xM3，故点M的坐标为(3，)优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|F1F2|8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|exM6xM68，解得xM3，代入椭圆方程得yM，故点M的坐标为(3，)答案：(3，)7双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：28(2019成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)|x1x2|y1y2|.已知点O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)1，则的取值范围是_解析：根据定义有：d(O，C)|0x|0y|1，即|x|y|1，该方程等价于或或或，画出图形如图所示，表示点(x，y)与点(0，0)的距离，所以.答案：9(2019高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立得整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.10(2019武汉市调研测试)已知椭圆：1(ab0)经过点M(2，1)，且右焦点F(，0)(1)求椭圆的标准方程；(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆于A，B两点，记t，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1t2的值解：(1)由椭圆1的右焦点为(，0)，知a2b23，即b2a23，则1，a23.又椭圆过点M(2，1)，所以1，又a23，所以a26.所以椭圆的标准方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22k2(x1)26，即(12k2)x24k2x2k260，因为点N(1，0)在椭圆内部，所以0，所以，则t(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1)(1k2)x1x2(2k2k)(x1x2)k22k5，将代入得，t(1k2)(2k2k)k22k5，所以t，所以(152t)k22k1t0，kR，则1224(152t)(1t)0，所以(2t15)(t1)10，即2t213t160，由题意知t1，t2是2t213t160的两根，所以t1t2.- 10 -