（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 4 第4讲 随机事件的概率教学案

第4讲随机事件的概率1事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2.概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且AB4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1(2)必然事件的概率：P(A)1(3)不可能事件的概率：P(A)0(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生()(5)若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)1.()(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修3P121练习T4改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”2(教材习题改编) 若A，B为互斥事件，则P(A)P(B)_1(填“”“”“”“”)答案：易错纠偏(1)确定互斥事件、对立事件出错；(2)基本事件计数错误甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为_解析：由题意得，甲不输的概率为.答案：事件类型的判断及随机试验结果 (1)给出关系满足AB的非空集合A，B的四个命题：若任取xA，则xB是必然事件；若任取xA，则xB是不可能事件；若任取xB，则xA是随机事件；若任取xB，则xA是必然事件其中不正确的是_(把所有不正确命题的序号都填上)(2)在下列随机试验中，一次试验各指什么？它们各有几次试验？试验的可能结果有哪几种？观察从北京站开往合肥站的3趟列车中正点到达的列车数；某人射击两次，观察中靶的次数【解】(1)因为AB，所以A中的元素都在B中，但是B中有些元素不在集合A中，所以正确中，若xA，则有xB，xB两种可能情况，因此若任取xA，则xB是随机事件故填.(2)每列列车运行一趟，就是1次试验，共有3次试验试验的结果有“只有1列列车正点到达”“只有2列列车正点到达”“全部正点到达”“全部晚点到达”，共4种射击一次，就是1次试验，共有2次试验试验的结果有“两次中靶”“一次中靶”“两次都未中靶”，共3种(1)判断事件类型的思路判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)(2)随机试验结果的判定在写试验结果时，要按照一定的顺序采用列举法写出，注意不能重复也不能遗漏准确写出满足某种特殊条件的试验结果是正确求解概率的基础 1指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件：(1)函数f(x)x22x1的图象关于直线x1对称；(2)ykx6是定义在R上的增函数；(3)若|ab|a|b|，则a，b同号解：必然事件有(1)；随机事件有(2)(3)对于(3)，当|ab|a|b|时，有两种可能：一种可能是a，b同号，即ab0；另外一种可能是a，b中至少有一个为0，即ab0.2做掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数(1)写出这个试验的所有可能的结果；(2)求这个试验共有多少种不同的结果；(3)写出事件“出现的点数之和大于8”；(4)写出事件“出现的点数相同”解：(1)这个试验的所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)(2)由(1)知这个试验的结果共有36种(3)事件“出现的点数之和大于8”为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)(4)事件“出现的点数相同”为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)随机事件的频率与概率 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20，25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100.所以，Y的所有可能值为900，300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 1随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n2 1001 000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.B.C. D.解析：选C.由题意，n4 5002002 1001 0001 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 2002 1003 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.2某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.89.互斥事件、对立事件的概率(高频考点)随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目主要命题角度有：(1)随机事件间关系的判定；(2)互斥事件的概率；(3)对立事件的概率角度一随机事件间关系的判定 (2020杭州第二中学模拟)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件【解析】AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC，故事件B，C是对立事件【答案】D角度二互斥事件的概率 (2020绍兴模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的概率是_【解析】 由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件，因为P(A)，P(B)，所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率PP(A)P(B).【答案】 角度三对立事件的概率 (2020浙江省名校协作体高三联考)袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率【解】(1)从12个球中任取一个，记事件A“得到红球”，事件B“得到黑球”，事件C“得到黄球”，事件D“得到绿球”，则事件A、B、C、D两两互斥，由题意有：即解得P(A)，P(B)，P(C)，P(D).故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，.(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件“AD”，由(1)及互斥事件概率加法公式得：P(AD)P(A)P(D)，故得到的不是“红球或绿球”的概率P1P(AD)1.(1)事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件概率的求和公式计算间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接法求就显得较简便 经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.基础题组练1设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为()A两个任意事件B互斥事件C非互斥事件 D对立事件解析：选B.因为P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件故选B.2(2020丽水模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A0.7 B0.65C0.35 D0.5解析：选C.因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P1P(A)0.35.3(2020衢州调研)从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是()A. B.C. D.解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A).因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)1P(A)1.4甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是()A. B.C. D.解析：选A.乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为.5从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()A BC D解析：选C.从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件，而中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.6围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B.C. D1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.7某城市2019年的空气质量状况如表所示：污染指数T3060100110130140概率P其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，则该城市2019年空气质量达到良或优的概率为_解析：由题意可知2019年空气质量达到良或优的概率为P.答案：8对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而BD，BDI，故B与D互为对立事件答案：A与B、A与C、B与C、B与DB与D9口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有_个解析：摸到黑球的概率为10.420.280.3.设黑球有n个，则，故n15.答案：1510(2020温州八校联考)某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能正确回答出这3个问题，即可晋级下一轮假设某选手回答正确的个数为0，1，2的概率分别是0.1，0.2，0.3，则该选手晋级下一轮的概率为_解析：记“答对0个问题”为事件A，“答对1个问题”为事件B，“答对2个问题”为事件C，这3个事件彼此互斥，“答对3个问题(即晋级下一轮)”为事件D，则“不能晋级下一轮”为事件D的对立事件，显然P()P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.20.30.6，故P(D)1P()10.60.4.答案：0.411(2020浙江省名校协作体高三联考)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345人及以上概率0.10.16xy0.2z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.10.16x0.56，所以x0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96z1，所以z0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y0.20.040.44，所以y0.440.20.040.2.12某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.综合题组练1掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件AB发生的概率为()A. B.C. D.解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)，P(B)，所以P(B)1P(B)1.因为B表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与B互斥，从而P(AB)P(A)P(B).2对于任意事件M和N，有()AP(MN)P(M)P(N)BP(MN)P(M)P(N)CP(MN)P(M)P(N)DP(MN)P(M)P(N)解析：选D.当M和N是互斥事件时，P(MN)P(M)P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(MN)P(M)P(N)综上可得P(MN)P(M)P(N)，故选D.3一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.答案：4某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.因为A、B、C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.5(2020宁波调研)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90，94)94，98)98，102)102，106)106，110频数412423210(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，需其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为4(2)5424242.68(元)14