（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 2 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示教学案

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10提醒当且仅当x2y20时，ab与等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12 ，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A(2，2)B(3，1)C(2，2)或(3，1) D(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得或，(3，3)设P(x，y)，则(x1，y3)，当时，(x1，y3)(3，3)，所以x2，y2，即P(2，2)；当时，(x1，y3)(3，3)，所以x3，y1，即P(3，1)故选D.2(必修4P97例5改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_解析：设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案：(1，5)3(必修4P119A组T9改编)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a2b共线，则_解析：由向量a(2，3)，b(1，2)，得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得，所以.答案：易错纠偏(1)忽视基底中基向量不共线致错；(2)弄不清单位向量反向的含义出错；(3)不正确运用平面向量基本定理出错1给出下列三个向量：a(2，3)，b，c(1，1)在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为_解析：易知ab，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22已知A(5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为_解析：由已知得(12，5)，所以|13，因此与反向的单位向量为.答案：3.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为_解析：因为E为DC的中点，所以，即，所以，1，所以.答案：平面向量基本定理及其应用 (1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足2，3，则_(用，表示)(2)在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_【解析】(1)如图所示，()，()，所以()().(2)因为，所以32，即22，所以2.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设.所以，又tt()tt.故解得故t的值是.【答案】(1)(2)1(变问法)在本例(2)中，试用向量，表示.解：因为，所以32，即22，2，所以，.2(变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析及，2知，()(1)(1).因此点M是AQ的中点平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 1(2020温州七校联考)如图，在四边形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135.若向量a，b，则()A.abBabCabD.ab解析：选B.根据题意可得ABC为等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，并作DEy轴于点E，则CDE也为等腰直角三角形由CD1，得CEED，则A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D，所以(1，0)，(1，1)，.令(，R)，则有得则ab，故选B.2在平行四边形ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若mn(m，nR)，则的值是_解析：法一：根据题意可知AFECFB，所以，故()，所以2.法二：如图，2，mn，所以m(2n1)，因为F，E，B三点共线，所以m2n11，所以2.答案：2平面向量的坐标运算 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数 在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则等于()A(2，7) B(6，21)C(2，7) D(6，21)解析：选B.33(2)63(6，30)(12，9)(6，21)平面向量共线的坐标表示(高频考点)平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题主要命题角度有：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线求向量坐标；(3)三点共线问题角度一利用两向量共线求参数 (2020浙江省名校联考)已知向量a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n为正数)，若ab，则的最小值是()A2 B3C32 D23【解析】已知a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n为正数)，若ab，则m(1n)0，即mn1.所以33232，当且仅当时取等号，故的最小值是32，故选D.【答案】D角度二利用两向量共线求向量坐标 已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_【解析】由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)【答案】(4，7)角度三三点共线问题 已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B.C. D.【解析】(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.【答案】A (1)向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值 已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充分必要条件核心素养系列11数学运算平面向量与三角形的“四心”设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.一、平面向量与三角形的“重心”问题 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心 DAB边的中点【解析】取AB的中点D，则2，因为(1)(1)(12)，所以2(1)(12)，而1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过ABC的重心【答案】C二、平面向量与三角形的“内心”问题 在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A.B.C4D6【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.【答案】B三、平面向量与三角形的“垂心”问题 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心 B垂心C外心 D内心【解析】因为，所以，所以(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心【答案】B四、平面向量与三角形的“外心”问题 已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. B.C. D.【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因为2()222，所以，把代入，得解得x，y.故实数对(x，y)为.【答案】A基础题组练1已知a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则c等于()Aab B.abCab Dab解析：选B.设cab，则(1，2)(1，1)(1，1)，所以所以所以cab.2设向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是()A2 B2C2 D0解析：选B.因为a与b方向相反，所以bma，m0，则有(4，x)m(x，1)，所以解得m2.又m0，所以m2，xm2.3已知A(1，4)，B(3，2)，向量(2，4)，D为AC的中点，则()A(1，3) B(3，3)C(3，3) D(1，3)解析：选B.设C(x，y)，则(x3，y2)(2，4)，所以解得即C(1，6)由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以(03，52)(3，3)4(2020温州瑞安七中高考模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则()A8 B4C4 D2解析：选C.设正方形的边长为1，则易知c(1，3)，a(1，1)，b(6，2)；因为cab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，解得2，故4.5已知非零不共线向量，若2xy，且(R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy20，故选A.6(2020金华十校联考)已知ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(，0)，(0，2)，O为坐标原点，动点P满足|1，则|的最小值是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.设点P(x，y)，动点P满足|1可得x2(y2)21.根据的坐标为(x，y1)，可得|，表示点P(x，y)与点Q(，1)之间的距离显然点Q在圆C：x2(y2)21的外部，求得QC，|的最小值为QC11，故选A.7已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_解析：因为ab，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又因为为锐角，所以.答案：8设向量(1，2)，(a，1)，(b，0)，其中a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为_解析：易知(a1，1)，(b1，2)，由A，B，C三点共线知，故2(a1)(b1)0，所以2ab1.由基本不等式可得12ab2，当且仅当2ab时等号成立，所以ab，即ab的最大值为.答案：9(2020台州质检)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a(cos C，bc)，向量b(cos A，a)且ab，则tan A_解析：ab(bc)cos Aacos C0，即bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A，所以sin A，tan A.答案：10如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且，则_解析：因为DEBABC45，所以ABDE，过D作AB，AC的垂线DM，DN，则ANDMBMBDsin 45，所以DNAMABBM2，所以，所以，所以1.答案：111已知a，b，c，d，e，设tR，如果3ac，2bd，et(ab)，那么t为何值时，C，D，E三点在一条直线上？解：由题设，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有解之得t.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t.12(2020杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，且|DM|1，|DN|2，MDN.(1)试用向量，表示向量，；(2)求|，|；(3)设O为ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若xy，求x，y的值解：(1)如图所示，；.(2)由(1)知，所以|，|.(3)由重心性质知：0，所以有：0xyx()y()(xy1)(x)(y).所以(xy1)(x)(y)111xy.综合题组练1(2020宁波诺丁汉大学附中期中考试)在ABC中，BC7，AC6，cos C.若动点P满足(1)(R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为()A5 B10C2 D4解析：选A.设，因为(1)(1)，所以B，D，P三点共线所以P点轨迹为直线BC.在ABC中，BC7，AC6，cos C，所以sin C，所以SABC7615，所以SBCDSABC5.2设两个向量a(2，2cos2)和b，其中，m，为实数，若a2b，则的取值范围是()A6，1 B4，8C(，1 D1，6解析：选A.由a2b，得所以又cos22sin sin2 2sin 1(sin 1)22，所以2cos22sin 2，所以22m2，将2(2m2)2代入上式，得2(2m2)2m2，得m2，所以26，13已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_解析：由题意得(3，1)，(2m，1m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.答案：m4(2020浙江名校新高考研究联盟联考)如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，ADDCCBAB1，F为BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动，E为圆弧与AB的交点，若，其中，R，则2的取值范围是_解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)，C，F；设P(cos ，sin )(060)，因为，所以(cos ，sin ).所以所以2sin cos 2sin(30)，因为060，所以12sin(30)1.答案：1，15(2020嘉兴模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)因为(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线6已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.18