（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 10 第10讲 圆锥曲线的综合问题教学案

第10讲圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的定点、定值问题 (2020杭州七校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2y2相切(1)求椭圆C的方程；(2)过点(1，0)的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由【解】(1)因为椭圆C：1(ab0)的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2y2相切，所以，解得c21，a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(34k2)x28k2x4k2120，则0，若存在定点N(m，0)满足条件，则有(x1m)(x2m)y1y2x1x2m2m(x1x2)k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(mk2)(x1x2)k2m2k2m2.如果要使上式为定值，则必须有m，验证当直线l斜率不存在时，也符合故存在点N满足.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得 (2020杭州、宁波二市三校联考)已知抛物线C：y22px(p0)过点M(m，2)，其焦点为F，且|MF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：(x1)2y21相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点解：(1)抛物线C的准线方程为x，所以|MF|m2，又42pm，即42p，所以p24p40，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：设点E(0，t)(t0)，由已知切线不为y轴，设直线EA：ykxt，联立，消去y，可得k2x2(2kt4)xt20，因为直线EA与抛物线C相切，所以(2kt4)24k2t20，即kt1，代入可得x22xt20，所以xt2，即A(t2，2t)设切点B(x0，y0)，则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：ytxt对称，则，解得，即B.直线AF的斜率为kAF(t1)，直线BF的斜率为kBF(t1)，所以kAFkBF，即A，B，F三点共线当t1时，A(1，2)，B(1，1)，此时A，B，F三点共线所以直线AB过定点F(1，0)圆锥曲线中的范围、最值问题(高频考点)圆锥曲线中的范围(最值)问题是高考命题的热点，多以解答题的第二问呈现，试题难度较大主要命题角度有：(1)建立目标函数求范围、最值；(2)利用基本不等式求最值；(3)利用判别式构造不等关系求范围角度一建立目标函数求范围、最值 如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【解】(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围解：(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由，消去x得y24sy40，故y1y24，所以B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y，所以N.设M(m，0)，由A，M，N三点共线得，于是m2.所以m2.经检验，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)2.(2020杭州中学高三月考)如图，以椭圆y21的右焦点F2为圆心，1c为半径作圆F2(其中c为已知椭圆的半焦距)，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T.(1)若a，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；(2)设圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k0)的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OAOB，且|PT|(ac)恒成立，求直线l被圆F2所截得弦长的最大值解：(1)由a得c，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|ac，故此时的切线长|PT| .(2)当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|minac，由|PT|(ac)恒成立，得(ac)，则c1.由题意知Q点的坐标为(1，0)，则直线l的方程为yk(x1)，代入y21，得(a2k21)x22a2k2xa2k2a20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，可得y1y2k2x1x2(x1x2)1，又OAOB，则x1x2y1y20ka，可得直线l的方程为axya0，圆心F2(c，0)到直线l的距离d，半径r1c，则直线l被圆F2所截得弦长s2，设1ct，则0t，又 ，则当t时的最小值为，即当c时s的最大值为.圆锥曲线中的探索性问题 (2020温州中学高三模拟)设直线l与抛物线x22y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若OAOB.(1)是否存在实数t，满足k1k2t(k3k4)，并说明理由；(2)求OCD面积的最大值【解】设直线l方程为ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)联立ykxb和x22y，得x22kx2b0，则x1x22k，x1x22b，4k28b0.由OAOB，所以x1x2y1y20，得b2.联立ykx2和3x24y212，得(34k2)x216kx40，所以x3x4，x3x4.由2192k2480，得k2.(1)因为k1k2k，k3k46k，所以.即存在实数t，满足k1k2(k3k4)(2)根据弦长公式|CD|x3x4|，得|CD|4，根据点O到直线CD的距离公式，得d，所以SOCD|CD|d4，设t0，则SOCD，所以当t2，即k时，SOCD的最大值为.探索性问题的求解策略(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法 (2020温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C1：y22px(p0)，直线l与抛物线C1相交于A，B两点，且当倾斜角为60的直线l经过抛物线C1的焦点F时，有|AB|.(1)求抛物线C1的方程；(2)已知圆C2：(x1)2y2，是否存在倾斜角不为90的直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)当倾斜角为60的直线l经过抛物线C1的焦点F时，直线l的方程为y(x)，联立方程组，即3x25pxp20，所以|AB|p，即p，所以抛物线C1的方程是y2x.(2)假设存在直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分，令直线l交圆C2于C，D，设直线l的方程为xmyb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，线段AB与线段CD的中点重合且有|AB|3|CD|，联立方程组，即4y2myb0，所以y1y2，y1y2，x1x22b，所以线段AB的中点坐标M为(b，)，即线段CD的中点为(b，)，又圆C2的圆心为C2(1，0)，所以kMC2m，所以m28b70，即b，又因为|AB|，因为圆心C2(1，0)到直线l的距离d，圆C2的半径为，所以3|CD|6(m23)，所以m422m2130，即m2116，所以m，b，故直线l的方程为xy.基础题组练1已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1.过A，F1作一个平行四边形，顶点A，B，C，D都在椭圆E上，如图所示(1)求椭圆E的方程；(2)判断ABCD能否为菱形，并说明理由解：(1)依题，令椭圆E的方程为1(ab0)，c2a2b2(c0)，所以离心率e，即a2c.令点A的坐标为(x0，y0)，所以1，焦点F1(c，0)，即|AF1|x0a|，因为x0a，a，所以当x0a时，|AF1|minac，由题ac1，结合上述可知a2，c1，所以b23，于是椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(1，0)，直线AB不能平行于x轴，所以令直线AB的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程，得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2.连接OA，OB，若ABCD是菱形，则OAOB，即0，于是有x1x2y1y20，又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，所以有(m21)y1y2m(y1y2)10，得到0，可见m没有实数解，故ABCD不能是菱形2(2020金华十校第二期调研)已知抛物线C：yx2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；(2)求|AB|的最小值解：(1)设直线AB的方程：yxm，则1，所以m0或m4，所以直线AB的方程为yx或yx4.(2)设直线AB的方程为ykxm，则1，所以k21(m2)2.由，得x2kxm0，所以x1x2k，x1x2m，所以|AB|24x1x2，记f(m)(m23)，所以f(m)2(m2)(2m22m3)，又k211，所以m1或m3，当m时，f(m)0，f(m)单调递减，当m时，f(m)0，f(m)单调递增，f(m)minf(1)4，所以|AB|min2.3(2020宁波市高考模拟)已知椭圆方程为y21，圆C：(x1)2y2r2.(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；(2)如图，直线l与椭圆相交于A，B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围解：(1)设P(x，y)，|PC|，由2x2，当x时，|PC|min.(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0), 由，整理得，则kAB，kMC，kMCkAB1，则kMCkAB1，解得x0，由M在椭圆内部，则y1，解得y，由r2(x01)2yy，所以r2，解得r.所以半径r的取值范围为(，) .4.已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解：(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB的中点M代入直线方程ymx解得b.由得m.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离d .设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.5(2020湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2.所以a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点P的坐标为(xP，yP)，因为直线l过点B，所以x1是方程(*)的一个根由根与系数的关系，得xP，从而yP，所以点P的坐标为.同理，由得点Q的坐标为(k1，k22k)所以(k，4)，k(1，k2)因为APAQ，所以0，即k4(k2)0.因为k0，所以k4(k2)0，解得k.经检验，k符合题意故直线l的方程为y(x1)6.(2020学军中学高三模拟)已知椭圆y21(a1)，过直线l：x2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设O为坐标原点，求POA面积的最小值解：(1)当P点在x轴上时，P(2，0)，PA：y(x2)，()x22x10，0a22，椭圆方程为y21.(2)设切线为ykxm，设P(2，y0)，A(x1，y1)，则(12k2)x24kmx2m2200m22k21，且x1，y1，y02km，则|PO|，PO的直线为yxA到直线PO距离d，则SPOA|PO|d|y0x12y1|(2km)|m|km|k|，所以(Sk)212k2k22SkS210，8S240S，此时k，所以POA面积的最小值为.综合题组练1(2020浙江高考冲刺卷)已知椭圆E：1(ab0)，点F，B分别是椭圆的右焦点与上顶点，O为坐标原点，记OBF的周长与面积分别为C和S.(1)求的最小值；(2)如图，过点F的直线l交椭圆于P，Q两点，过点F作l的垂线，交直线x3b于点R，当取最小值时，求的最小值解：(1)OBF的周长Cbc.OBF的面积Sbc.22，当且仅当bc时，的最小值为22.(2)由(1)得当且仅当bc时，的最小值为22.此时椭圆方程可化为 1.依题意可得过点F的直线l的斜率不能为0，故设直线l的方程为xmyc.联立，整理得(2m2)y22mcyc20.y1y2，y1y2，|PQ|2c.当m0时，PQ垂直横轴，FR与横轴重合，此时|PQ|c，|FR|3bc2c，.当m0时，设直线FR：ym(xc)，令x3c得R(3c，2mc)，|FR|2c，2c()2，综上所述：当且仅当m0时，取最小值为.2(2020杭州市第一次高考数学检测)设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB1.若(0)(1)求点C的轨迹；(2)过点D作轨迹的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得恒成立，并说明理由解：(1)设A(a，0)，B(0，c)，C(x，y)，则(a，c)，(xa，y)由AB1得a2c21，所以，消去a，c，得点C的轨迹为1.(2)设点E，F，K的横坐标分别为xE，xF，xK，设点D(s，t)，则直线PQ的方程为xy1.设直线m的方程：ykxb，所以tksb.计算得xK.将直线m代入椭圆方程，得x2x10，所以xExF，xExF，所以2.验证当m的斜率不存在时成立故存在实数t2，使得恒成立18